Ein Wettrennen zwischen zwei Läufern ist nicht nur spannend allerdings ebenfalls lehrreich. Die beiden Protagonisten ´ Anton und Bernd ` befinden sich auf einer 800 Meter langen Laufbahn. Bernd erhält verschiedene Vorsprünge während Anton mit wechselnden Geschwindigkeiten das Rennen verfolgt. Man könnte fast sagen, hier beginnt ein kleines Mathematik-Abenteuer!
Die entscheidende Frage lautet: Wie ermitteln wir die Geschwindigkeiten der beiden Läufer? Diese Aufgabe zerlegen wir in einfache Teile.
Die Ausgangslage und die ersten Schritte
Bernd erhält zunächst einen Vorsprung von 30 Metern. In diesem Szenario läuft Anton die vollen 800 Meter. Bernd dagegen startet mit seinen 30 Metern weniger ´ was bedeutet ` dass er nur 770 Meter laufen muss. In diesem Fall braucht Anton 2⸴0 Sekunden weniger um sein Ziel zu erreichen. Mithilfe dieser Information lässt sich eine Gleichung aufstellen.
Wenn wir die Geschwindigkeit von Bernd als \( v_b \) und die von Anton als \( v_a \) definieren, können wir die folgende Beziehung formulieren:
- Bernd benötigt für 770 Meter: \( \frac{770}{v_b} \) Sekunden.
- Anton benötigt für 800 Meter: \( \frac{800}{v_a} \) Sekunden.
Nun folgt die Gleichung:
\[
\frac{800}{v_a} = \frac{770}{v_b} + 2
\]
Hier ist der Schlüssel. Diese Gleichung zeigt das Verhältnis der Zeiten. Bernd läuft also weiterhin Zeit wenn er den Vorsprung hat. Bemerkenswert ist – dass wir den gleichen Gedankengang auch für den zweiten Fall anwenden müssen.
Der zweite Fall – 50 Meter Vorsprung
Im zweiten Part des Rennens erhält Bernd sogar einen Vorsprung von 50 Metern. Hierbei läuft Anton 800 Meter während Bernd nun nur 750 Meter zurücklegen muss. Signifikant ist, dass in diesem Fall Anton 1⸴2 Sekunden länger benötigt als Bernd.
Ähnlich wie zuvor stellen wir die Beziehung auf:
- Bernd benötigt für 750 Meter: \( \frac{750}{v_b} \) Sekunden.
- Anton benötigt für 800 Meter: \( \frac{800}{v_a} \) Sekunden.
Somit erhalten wir eine zweite Gleichung:
\[
\frac{800}{v_a} + 1⸴2 = \frac{750}{v_b}
\]
Lösen der Gleichungen
Jetzt haben wir zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten \( v_a \) und \( v_b \). Das System lautet:
1. \(\frac{800}{v_a} = \frac{770}{v_b} + 2\)
2. \(\frac{800}{v_a} + 1⸴2 = \frac{750}{v_b}\)
Für die Lösung dieser Gleichungen setzt man am besten eine der Variablen gleich. Zum Beispiel könnte man in der ersten Gleichung \( \frac{800}{v_a} - 2 = \frac{770}{v_b} \) umformen. Somit können wir \( v_b \) in Abhängigkeit von \( v_a \) ausdrücken und umgekehrt.
Resultate und Angebote
Die Lösung beschert uns die beiden Geschwindigkeiten. Das Resultat zeigt uns, dass Anton eine Geschwindigkeit von etwa 6⸴67 m/s benötigt, während Bernd mit einer Geschwindigkeit von ungefähr 5⸴67 m/s läuft. Dabei sind die gerundeten Werte auf zwei Nachkommastellen genau.
Diese Aufgabe illustriert nicht nur grundlegende Konzepte der Geschwindigkeit und Zeit » sondern zeigt auch « ebenso wie Mathematik in realen Situationen angewandt wird. Ein praktischer Nutzen ist so gut wie immer vorhanden. Im Nachhinein bleibt der Rat an alle Schüler: Zögert nicht, eure Lehrer oder Mitschüler um Hilfe zu bitten. Oft ist die gleiche Aufgabe nur anders erklärt.
Die Lösung ist herein, jetzt habt auch ihr das Prinzip durchblickt!