Maximierung des rechteckigen Querschnitts einer Rinne
Wie kann man den größtmöglichen rechteckigen Querschnitt einer Rinne aus einem rechteckigen Blech mit gegebener Länge berechnen?
Ein rechteckiger Querschnitt einer Rinne aus einem Blech wird durch die Höhe und Breite definiert, obwohl dabei die Höhe als Variable \(h\) und die Breite als \(a\) gegeben sind. Um den größtmöglichen rechteckigen Querschnitt zu finden, muss man eine Extremwertaufgabe lösen. Zuerst stellt man die Flächengleichung auf die den Querschnitt repräsentiert: \(F = h \cdot a\). Da das Blech eine Länge von 49 cm hat und die Rinne oben offen ist, ergibt sich die Nebenbedingung \(L = a + 2h\), wobei \(L\) die Länge des Blechs darstellt. Man löst diese Nebenbedingung entweder nach \(a\) oder \(h\) auf und setzt die abhängige Variable in die Flächengleichung ein. Anschließend bildet man die Ableitung \(F'\) und setzt sie genauso viel mit null um das Maximum zu finden. Dabei sollte man entweder nach \(a\) oder \(h\) auflösen. Das Ergebnis sollte \(F = L/8\) ergeben, also der größtmögliche Querschnitt der Rinne. Es ist wichtig die Beziehung zwischen Höhe Breite und Länge des Blechs zu berücksichtigen um die Fläche optimal zu maximieren. In diesem Fall findet man durch geschicktes Umformen und Ableiten den optimalen rechteckigen Querschnitt für die Rinne.