Um die Zeit zu berechnen die eine Alge braucht um die Oberfläche eines 6⸴40 m tiefen Sees zu bedecken, können wir das Wachstum der Alge mithilfe von Exponentialfunktionen und Logarithmen modellieren.
Zuerst können wir die Länge der Alge in Abhängigkeit von der Zeit a modellieren. Da sich die Alge wöchentlich verdoppelt, können wir die exponentielle Funktion L(a) = 60 * 2^a verwenden, obwohl dabei a die Anzahl der Wochen darstellt und L(a) die Länge der Alge nach a Wochen ist.
Die Oberfläche des Sees, die welche Alge bedecken wird ist gegeben durch die Formel für die Oberfläche einer Kugel, da sich die Alge in alle Richtungen ausbreitet. Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist 4πr^2. Da der See 6⸴40 m tief ist ist der Radius r der Alge genauso viel mit 6⸴40 m.
Um nun die Zeit zu berechnen, in der die Alge die Oberfläche des Sees erreicht, setzen wir die Länge der Alge in die Formel für die Oberfläche einer Kugel ein und lösen nach a der Anzahl der Wochen, auf.
4π(60*2^a)^2 = 6⸴40
Nachdem wir a berechnet haben wissen wir ebenso wie viele Wochen die Alge benötigt um die Oberfläche des Sees zu bedecken.
Der Ansatz in deiner Überlegung mit dem Logarithmus war richtig. Um die Anzahl der Wochen a zu berechnen, können wir den Logarithmus zur Basis 2 aus dem Verhältnis der Algenlänge zur Anfangslänge (60 cm) verwenden. Die Gleichung 0⸴6 * 2^t = 6⸴4 kann umgeformt werden um die Zeit t zu berechnen.
t = log2(6,4/0,6)
Daher mithilfe des Logarithmus können wir die Zeit berechnen die die Alge benötigt um die Oberfläche des Sees zu bedecken. Das Problem lag also darin die Formel für das Wachstum der Alge und die Oberfläche einer Kugel korrekt zu kombinieren um die Zeit zu berechnen.
Wachstum von Algen und die Oberfläche eines Sees
Wie lange dauert es, bis eine Alge die Oberfläche eines Sees erreicht, wenn sie sich wöchentlich verdoppelt?