Injektiv, surjektiv und bijektiv: Mathematische Überprüfung anhand der Funktion f(x) = 2^x

Um die Injektivität, Surjektivität oder Bijektivität einer Funktion mathematisch zu überprüfen, können wir verschiedene Ansätze verwenden. Im Falle der Funktion f(x) = 2^x, definieren wir zunächst die Abbildung sauber.

Injektivität bedeutet: Dass verschiedene Argumente nicht auf denselben Funktionswert abgebildet werden. Um die Injektivität von f(x) = 2^x zu beweisen müssen wir zeigen: Dass eine Gleichheit der Funktionswerte automatisch ebenfalls eine Gleichheit der Argumente impliziert. Angenommen, wir haben zwei verschiedene Argumente x1 und x2, für die gilt f(x1) = f(x2).

Setzen wir diese Gleichung ein, erhalten wir:

2^x1 = 2^x2.

Um die Injektivität zu überprüfen, können wir den Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten anwenden:

log2(2^x1) = log2(2^x2).

Dies führt zur Gleichung:

x1 = x2.

Da x1 und x2 verschiedene Argumente sind erhalten wir einen Widerspruch. Daher ist die Funktion f(x) = 2^x injektiv.

Um die Surjektivität der Funktion zu überprüfen müssen wir untersuchen ob jeder Wert in der Zielmenge in der Funktion abgebildet wird.

In diesem Fall ist die Zielmenge die Menge der reellen Zahlen. Betrachten wir die Funktion f(x) = 2^x, können wir leicht feststellen dass negative Zahlen nicht abgebildet werden da die Potenz einer positiven Basis niemals negativ sein kann. Daher ist die Funktion f(x) = 2^x nicht surjektiv im Bereich der reellen Zahlen.

Wenn wir die Zielmenge jedoch auf die positiven reellen Zahlen beschränken, kann die Funktion surjektiv sein. Jeder positive Wert y in der Zielmenge kann als f(x) = 2^x dargestellt werden, indem wir x = log2(y) wählen.

Eine Funktion ist bijektiv wenn sie sowie injektiv als auch surjektiv ist. Da die Funktion f(x) = 2^x injektiv jedoch nicht surjektiv ist ist sie nicht bijektiv.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Funktion f(x) = 2^x injektiv ist, wenn verschiedene Argumente auf unterschiedliche Funktionswerte abgebildet werden. Sie ist nicht surjektiv – da nicht alle Werte in der Zielmenge abgebildet werden. Daher ist sie auch nicht bijektiv.