Berechnung von Grenzwerten bei reellwertigen Funktionen

Bei der Berechnung von Grenzwerten bei reellwertigen Funktionen gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zunächst überprüft man ob der Grenzwert existiert oder nicht. Falls er existiert – bestimmt man den Grenzwert direkt. Wenn der Grenzwert nicht existiert, muss man den links- und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen.

In der vorliegenden Aufgabe werden reellwertige Funktionen untersucht, obwohl dabei eine e-Funktion im Nenner vorkommt. Hierbei ist es wichtig zu beachten, dass eine e-Funktion schneller steigt oder fällt als eine Potenzfunktion. Deshalb muss man vor allem das Verhalten der e-Funktion bei Annäherung an ♾️ untersuchen.

Für die Funktion a) gilt, dass der Nenner gegen Null läuft, wenn x gegen Unendlich geht. Dies bedeutet – dass die Funktionswerte gegen Unendlich streben. Falls x gegen minus Unendlich geht läuft der Nenner gegen unendlich und dadurch läuft der Funktionswert gegen Null. Es gibt also für x gegen minus Unendlich eine Asymptote bei y=0, während es für x gegen Unendlich keinen Grenzwert gibt.

Bei der Funktion b) kann man den Zähler nicht mit dem Nenner kürzen, da der Nenner einen Exponenten mit x enthält. Es liegt ein fataler Denkfehler vor, weil der Zähler gegen Unendlich geht aufgrund der Dominanz von x² gegenüber +4. Der Nenner hingegen hat einen negativen Exponenten und läuft gegen Null. Da im Nenner eine große Zahl vorliegt und im Zähler eine kleine Zahl, tendiert der Quotient gegen Unendlich. Dies kann man ebenfalls mit Hilfe eines Rechenhelfers wie Wolfram kontrollieren. Der Grenzwert für x gegen Null beträgt 4/e.

Zusammenfassend kann man sagen, dass bei reellwertigen Funktionen mit e-Funktionen im Nenner das Verhalten der e-Funktion bei Annäherung an Unendlich entscheidend ist. Je nachdem ob der Nenner gegen Null oder gegen Unendlich läuft kann man Rückschlüsse auf den Grenzwert ziehen. In den gegebenen Beispielen ergibt sich: Dass für x gegen Unendlich kein Grenzwert existiert und für x gegen minus Unendlich ein Grenzwert von 0 vorliegt. Bei der zweiten Funktion ergibt sich für x gegen Null ein Grenzwert von 4/e. Es ist wichtig die verschiedenen Möglichkeiten zur Berechnung von Grenzwerten zu beherrschen und bei Aufgaben mit e-Funktionen im Nenner vorsichtig vorzugehen.