Mathematik ist weiterhin als nur Zahlen. Sie bietet Lösungen zu scheinbar einfachen Alltagsfragen. Eine solche Frage dreht sich um die Berechnung der Höhe einer an einer Wand angelehnten 🪜 und den damit verbundenen Winkel. Dafür greifen wir in die Werkzeugkiste der Mathematik – konkret: auf den Satz des Pythagoras und trigonometrische Ansätze. Wer hätte gedacht, dass eine Leiter zum Lernen anregen kann?
Nehmen wir das Beispiel: eine 6⸴5 Meter lange Leiter steht am Boden 1⸴8 Meter von einer Wand entfernt. Unsere Mission: herausfinden, ebenso wie hoch die Leiter an der Wand reicht und wie der Winkel zwischen der Leiter und dem Boden aussieht.
Um die Höhe zu bestimmen ist der Satz des Pythagoras unser Freund - er zeigt uns den rechten Weg um das Problem zu lösen. Ein rechtwinkliges Dreieck liegt hier vor. In diesem Dreieck müssen wir die Hypotenuse und eine der Katheten betrachten. Der Satz verkündet: Das Quadrat der Hypotenuse ist genauso viel mit der Summe der Quadrate der Katheten. Halten wir also fest:
2 = 6⸴5^2 - 1⸴8^2
Das berechnen wir. Die Hypotenuse (unsere Leiter) ist 6⸴5 Meter die bekannte Kathete (die Entfernung) 1⸴8 Meter.
42⸴25 – 3⸴24 – das ergibt 38⸴01. Die Wurzel aus 38⸴01? Etwa 6⸴17 Meter. So erreicht die Leiter also eine Höhe von 6⸴17 Metern an der Wand. Unglaublich – wie Mathematik das sichtbar macht.
Doch die Reise ist hier noch nicht zu Ende. Der Winkel der zwischen unserer Leiter und dem Boden entsteht - was kann er uns verraten? Wieder überlassen wir uns der Trigonometrie. Hier ist der Cosinus gefragt. Dieser beschreibt das Verhältnis zwischen der anliegenden Seite und der Hypotenuse. Das mysteriöse Ergebnis finden wir, indem wir 1⸴8 (die Kathete) durch 6⸴5 (die Hypotenuse) teilen.
cos(Winkel) = 1⸴8 / 6⸴5
Wollen wir das Ergebnis nun ins Visier nehmen. Der Arcuscosinus bringt uns zum gesuchten Winkel.
Der ermittelte Winkel beträgt ebenfalls ziemlich ebendies 74 Grad. Ein kurz gesagt – einfach beeindruckend. Eine Leiter ist also kein banales Gebilde. Sie zeigt uns – wie Mathematik in unserem Alltag wirkt.
Fazit: Die Rechnung ist klar - die Leiter reicht etwa 6⸴17 Meter an der Wand hoch. Der Winkel von ungefähr 74 Grad unterstreicht wie Mathematik eine verständliche Sprache spricht. Jeder Handgriff wird durch diese Ahnung von Mathematik geprägt. Zeigt uns genau – wie wichtig Geometrie im Alltag ist.
Berechnung der Höhe einer Leiter an einer Wand und des Winkels zum Boden
Wie berechnet man die Höhe einer an einer Wand angelehnten Leiter und den Winkel zum Boden?