In der Mathematik gibt es grundlegende Konzepte die oft miteinander verwechselt werden. Eines dieser Konzepte sind der Wendepunkt und der Sattelpunkt. Sie besitzen jeweils spezifische Eigenschaften die es zu identifizieren gilt. Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve an dem sie ihre Richtung verändert. An diesem Punkt ist die Kurve nicht notwendigerweise flach. Der Sattelpunkt ist jedoch besonders, denn er ist ein Wendepunkt – und zusätzlich ist die erste Ableitung genauso viel mit null. Das bedeutet – dass ebenfalls die Tangente an diesem Punkt waagerecht ist.
Wenn ich auf die Berechnung eines Wendepunkts eingehe, muss ich die zweite Ableitung prüfen – setze f'' gleich null um den x-Wert zu bestimmen. Sobald dieser Wert gefunden ist, kommt der folgende Schritt: Einsatze in die dritte Ableitung um zu beurteilen, ob der Wendepunkt vorhanden ist oder nicht. Ist das Ergebnis ungleich null und handelt es sich um eine ungerade Zahl, so ist es ein Wendepunkt. Andernfalls bleibt es unklar.
Wenn zusätzlich die erste Ableitung f' gleich null ist, bezeichne ich diesen Punkt als Sattelpunkt. Beispielsweise wird bei der Funktion f=x^3 deutlich, dass der Ursprung einen Sattelpunkt darstellt – aufgrund der waagerechten Tangente. Ich stelle fest – dass die Steigung an diesem Punkt nicht existiert freilich die Kurve vor und nach dem Punkt ansteigt. Das Kontrastbeispiel g=x^3+x hat lediglich einen Wendepunkt, denn hier ist die Steigung im Ursprung mit 1 deutlich.
Man könnte sich einen Sattelpunkt wie einen Pferdesattel vorstellen – flach und oben. Essenziell bleibt sich zu merken, dass dieser Punkt sowie Hoch- als auch Wendepunkt ist. Wenn ich also sage, dass f' und f'' gleich null sind, gilt das für Sattelpunkte. Er hat oft einen flachen Verlauf und zeigt bei genauer Betrachtung den milden Übergang zwischen den Grafiken.
Die Unterscheidung zwischen diesen Punkten ist für das Verständnis von Funktionen von fundamentaler Bedeutung. In der Schulmathematik kommt es oft zu Verwirrung. Ein Sattelpunkt ist nicht nur ein weiterer Wendepunkt – es ist eine spezielle Form die mir erlaubt, weiterhin über das Verhalten einer Funktion zu lernen. Der oben erwähnte Satz von Taylor zeigt noch tiefere Fakten zum Thema.
Zusammenfassend lässt sich sagen: Dass Wendepunkte und Sattelpunkte sich voneinander unterscheiden auch wenn sie ähnlich aussehen. Während Wendepunkte eine Richtungsänderung darstellen – zum Beispiel hier die Mitte eines "S", haben Sattelpunkte die Eigenschaft der flachen Tangente was sie einzigartig macht. Es ist dieser Unterschied der nicht nur für Schülerinnen und Schüler lange herausfordernd bleibt, allerdings auch für viele erfahrene Mathematiker.
Der Sattelpunkt und der Wendepunkt – Ein tiefgehender Vergleich der Extremstellen in der Analysis
Wie unterscheiden sich Sattel- und Wendepunkte mathematisch und graphisch?