Die Mathematik findet ebenfalls in der Praxis Anwendung, insbesondere bei der Konstruktion von zylindrischen Wasserspeichern. In diesem Kongibt es spezifische Herausforderungen bei der Extremwertberechnung. Zunächst müssen wir die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel betrachten. Genauer geht es darum ebenso wie man die Höhe und auch den Radius so wählt: Dass der Blechverbrauch minimiert wird, obwohl dabei das Volumen bei 1000 Litern dauerhaft bleibt.
Die dafür benötigten Formeln sind entscheidend: Wir haben die Nebenbedingung die sich aus dem Volumen ergibt. Diese lautet: \[ V = \pi r^2 h = 1000 \]. Daraus ergibt sich, dass \( h \) in Abhängigkeit von \( r \) formuliert werden kann:
\[ h = \frac{1000}{\pi r^2} \].
Die Zielfunktion die wir minimieren wollen ist der Oberflächenbereich \( O \) der sich wie folgt darstellt:
\[ O = \pi r^2 + 2 \pi r h \].
Setzen wir die vorher definierte Höhe \( h \) in die Zielfunktion ein:
\[ O = \pi r^2 + 2 \pi r \left( \frac{1000}{\pi r^2} \right) = \pi r^2 + \frac{2000}{r} \].
Jetzt beginnen die kritischen Schritte – die Ableitungen. Die Funktion \( O \) muss abgeleitet werden um die minimalen Werte zu finden:
\[ O'(r) = 2\pi r - \frac{2000}{r^2} \].
Setzt man die erste Ableitung genauso viel mit null, erhält man:
\[ 2\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \].
Hieraus lässt sich, darauffolgend einigen Umformungen, ablesen: \( 2\pi r^3 = 2000 \) was danach führt, dass \( r^3 = \frac{1000}{\pi} \). Aus dieser Gleichung ergibt sich der Radius:
\[ r = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} \].
Setzen wir dies in die Volumengleichung ein um \( h \) zu bestimmen:
\[ h = \frac{1000}{\pi \left( \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} \right)^2} \].
Schließlich erhalten wir die Werte für \( r \) und \( h \). Die allgemeinen Kenntnisse über Extremwertaufgaben helfen dabei, das Konzept des Ableitens und anschließenden Nullsetzens anzuwenden. Die Ergebnisse zeigen, dass der optimale Wert für \( r \) und \( h \) etwa gleich \( \frac{10}{\sqrt[3]{\pi}} \) betragen.
Der Prozess steht im Einklang mit den Erkenntnissen von Experten wie Stevensans und Ellejolka, die welche Einsetzvorgänge bestens veranschaulichen können. Ihre Expertise hilft dabei – eine numerische Lösung präzise darzustellen und zu sichern. Das Ziel dieses mathematischen Ansatzes geht über reine Zahlen hinaus: Es ist eine direkte Verbindung zwischen Theorie und Praxis.
Optimierung von Wasserspeichern: Wie findet man die minimalen Blechverbrauch-Maße?
Wie bestimmt man die optimalen Maße eines zylindrischen Wasserspeichers, um den Blechverbrauch zu minimieren?