Der Umgang mit Extremalwertproblemen kann herausfordernd sein, besonders wenn es um geometrische Figuren geht. Es ist entscheidend – die relevanten Formeln zu verstehen und anzuwenden. Hinterfragen wir spezifisch den Fall eines offenen zylinderförmigen Wasserspeichers mit einem vorgegebenen Volumen von 1000 Litern. Ziel ist es die minimalen Maße des Zylinders zu finden.
Um die Methode zu ergründen sollten wir zunächst die Formeln für Volumen und Oberfläche betrachten. Die Grundfläche eines Zylinders wird durch die Formel \( G = \pi r^2 \) bestimmt, obwohl dabei \( r \) der Radius ist. Für die Mantelfläche gilt: \( M = 2 \pi rh \). Die gesamte Oberfläche des offenen Zylinders berechnet sich also durch die Summation dieser beiden Termen. Dabei ist die Extremalbedingung das zu minimierende Material \( E = \pi r^2 + 2 \pi rh \).
Zu beachten ist nun die Nebenbedingung, also das Volumen: \( V = \pi r^2 h = 1000 \, \{dm}^3 \). Diese Bedingung gibt uns die Möglichkeit eine Variable nach der anderen aufzulösen. Sollten wir \( h \) nach \( r \) umstellen, erhalten wir \( h = \frac{1000}{\pi r^2} \). Indem wir diesen Ausdruck in die Extremalbedingung einsetzen, führt dies zur Zielfunktion \( E = \pi r^2 + 2 \pi r \left(\frac{1000}{\pi r^2}\right) \).
Hierbei kürzt sich das \( \pi \) heraus was zur Vereinfachung der Berechnung beiträgt. So ergibt sich \( E = \pi r^2 + \frac{2000}{r} \). Der nächste Schritt zur Bestimmung der optimalen Lösung ist die Ableitung der Zielfunktion. Das Ableiten von \( E \) gewährt uns die erste Ableitung: \( E' = 2\pi r - \frac{2000}{r^2} \).
Wir setzen \( E' = 0 \) um nach den Extremwerten zu suchen. Dies führt zur Gleichung \( 0 = 2\pi r - \frac{2000}{r^2} \). Nach Umformung erkennt man, dass wir \( 2 \pi r^3 = 2000 \) erhalten: \( r^3 = \frac{1000}{\pi} \) gibt uns den Radius. Der Wert von \( r \) ist deshalb die dritte Wurzel von \(\frac{1000}{\pi}\) und liegt bei ungefähr 6⸴83 dm.
Nach dieser Berechnung kann die Höhe \( h \) als ähnelt zu \( 6⸴83 \, \{dm} \) festgelegt werden was überraschend erscheint. Hierbei ergibt sich, dass sowie Radius als ebenfalls Höhe 6⸴83 dm betragen müssen. Diese Symmetrie ist faszinierend und zeigt ebenso wie Mathematik in geometrischen Zusammenhängen arbeitet.
Schließlich bleibt die Frage ob solche Aufgaben die auf Taschenrechner angewiesen sind ihre Platzierung im Lehrbuch rechtfertigen. Die orange Markierung könnte wie ein „Hier ist Herausforderung!“-Signal wirken. Dennoch ist es der Ernst der Herausforderung der das Lernen fördert.
Zusammenfassend lässt sich festhalten – Extremalwertprobleme sind durch das Verknüpfen von Haupt- und Nebenbedingungen und auch das Ableiten von Zielfunktionen gekennzeichnet. Aufmerksamkeit und klar strukturierte Schritte sind äußerst hilfreich.
Extremalwertprobleme mit Bezug auf Zylinder - Ein Leitfaden zur optimalen Lösung
Wie berechnet man Extremalwerte für geometrische Formen?