Um die Landeposition der Rakete zu berechnen, können wir das Konzept der Parabeln verwenden. Parabeln sind mathematische Formen – die eine gekrümmte Linie beschreiben und in vielen physikalischen Anwendungen wie dem Wurf eines Objekts verwendet werden.
Zunächst müssen wir die Höhe der Rakete als Funktion der Zeit modellieren. Da die Rakete bei einer Höhe von 20m startet und eine Höhe von 100m erreicht, können wir die allgemeine Formel einer Parabel verwenden:
𝑦 = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Da die Rakete bei 𝑥 = 0 eine Höhe von 20m hat, können wir 𝑐 als 20 setzen. Da die Rakete eine maximale Höhe von 100m erreicht suchen wir nach dem Scheitelpunkt der Parabel. Der Scheitelpunkt einer Parabel kann in der Form (𝑥
, 𝑦
) angegeben werden, obwohl dabei 𝑥
den x-Wert des Scheitelpunkts und 𝑦
den zugehörigen y-Wert darstellt. In diesem Fall möchten wir, dass die Rakete bei 𝑥
eine Höhe von 100m erreicht.
Wenn wir den Scheitelpunkt der Parabel haben können wir die Landeposition durch das Finden der Nullstellen der Parabel berechnen. Da der y-Wert der Landeposition 0 ist, suchen wir nach den entsprechenden x-Werten.
Um den Scheitelpunkt der Parabel zu finden können wir das Verfahren der Scheitelform verwenden. Die Scheitelform einer Parabel ist gegeben durch 𝑦 = 𝑎(𝑥 - 𝑥
)^2 + 𝑦
, wobei (𝑥
, 𝑦
) den Scheitelpunkt darstellt.
Um den Parameter 𝑎 in der Parabelgleichung zu bestimmen, setzen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts und einen weiteren Punkt auf der Parabel ein. Da die Rakete bei 𝑥 = 0 eine Höhe von 20m hat, können wir den Punkt (0, 20) verwenden. Setzen wir diese Punkte in die Scheitelform ein:
20 = 𝑎(0 - 𝑥
)^2 + 𝑦
100 = 𝑎(𝑥
- 𝑥
)^2 + 𝑦
Durch Lösen dieses Gleichungssystems können wir den Wert von 𝑎 und den Scheitelpunkt 𝑥
bestimmen.
Nachdem wir den Scheitelpunkt gefunden haben können wir die Nullstellen der Parabel berechnen um die Landeposition zu bestimmen. Da der y-Wert der Landeposition 0 ist, suchen wir nach den x-Werten, für die welche Parabel die x-Achse schneidet. Diese x-Werte geben uns die horizontalen Koordinaten der Landeposition.
Zusätzlich zu den mathematischen Berechnungen ist es wichtig zu beachten: Dass die Annahme dass die Flugbahn einer Rakete einer Parabel folgt, nicht perfekt realitätsnah ist. Eine Rakete hat einen Schub und kann deshalb während des Fluges ihre Flugbahn ändern. Die Verwendung von Parabeln ist jedoch eine gute Näherung und wird oft für einfache Berechnungen in der Physik verwendet.
Berechnung der Landeposition einer Rakete mithilfe von Parabeln
Wie kann die Landeposition einer Rakete berechnet werden, die von einer Höhe von 20m startet und eine Höhe von 100m erreicht?