Die Wahrscheinlichkeit ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik. Besonders bei Spielen wird sie häufig angewendet. Alles beginnt mit dem Würfeln. Nehmen wir an – wir haben es mit einem speziellen Würfel zu tun. Dieser Würfel hat zwei Seiten mit der Zahl 3, eine Seite mit 2, eine Seite mit 4 und zwei Seiten mit der Aufschrift „Joker“. Es gibt insgesamt sechs Seiten. In einem Experiment werden wir zwei Würfe mit diesem Würfel durchführen.
Kommen wir zur Rechnung. Die Wahrscheinlichkeit errechnen wir indem wir die Anzahl der günstigen Ereignisse durch die Anzahl der möglichen Ereignisse teilen. Dabei sind die möglichen Ereignisse die Seiten des Würfels – also insgesamt sechs. Die günstigen Ereignisse sind alle Ergebnisse die keine Joker darstellen. Das sind die Zahlen 2⸴3 und 4 respektive vier Seiten. Somit ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 4/6 oder, vereinfacht, 2/3. Dies entspricht 66․6 Prozent.
Nun die eigentliche Frage ist ebenso wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist ebendies einmal einen Joker in zwei Würfen zu erhalten. Es wird komplexer. Wir müssen die verschiedenen Möglichkeiten betrachten:
1. Joker im ersten Wurf und keine im zweiten
2. Keine im ersten Wurf und Joker im zweiten.
Der erste Weg hat:
- Die Wahrscheinlichkeit, keinen Joker im ersten Wurf zu erhalten ist 2/3.
- Die Wahrscheinlichkeit, einen Joker im zweiten Wurf zu würfeln ist 1/3.
Das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten liefert uns die Wahrscheinlichkeit für den ersten Fall: (2/3) * (1/3) = 2/9, also 22․2 Prozent.
Für den zweiten Pfad verhält es sich genau gleich: Auch hier beträgt die Wahrscheinlichkeit 22․2 Prozent. Weil nun zwei verschiedene Wege existieren summieren wir diese Wahrscheinlichkeiten. 2/9 + 2/9 = 4/9.
Der Binomialkoeffizient ist entscheidend. Hier verdoppelt sich die Wahrscheinlichkeit da wir in zwei Wurfvarianten denken. Die Formel lautet: P(X=1) = (n über k) p^k (1-p)^(n-k) wobei n die Anzahl der Versuche ist (hier 2), k die Erfolge (hier 1 Joker) und p die Erfolgswahrscheinlichkeit beim Würfeln eines Jokers (1/3).
Führen wir die Rechnung zu Ende:
- n = 2
- k = 1
- p = 1/3
Der Binomialkoeffizient (2 über 1) ist 2. Somit ergibt sich die Formel zu: P(X=1) = 2 (1/3)^1 (2/3)^(2-1).
Dies führt uns zu dem Ergebnis: 2 (1/3) (2/3) = 4/9 oder rund 44․4 Prozent. Auf einen Blick lässt sich schildern: Die Wahrscheinlichkeit, genau einmal einen Joker zu würfeln ist 44․4 Prozent.
Zusammengefasst ist die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung in solchen Szenarien nicht nur mathematisch ansprechend, vielmehr erfordert sie ein gründliches Verständnis der verfügbaren Möglichkeiten und ihrer Wahrscheinlichkeiten. Wer bei Würfelspielen punkten möchte sollte sich mit diesen Konzepten auskennen.
Die Wahrscheinlichkeit eines Jokers: Eine mathematische Herausforderung
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, genau einmal einen Joker beim Würfeln mit einem modifizierten Würfel zu erhalten?