Mathematik kann manchmal komplex wirken. Diese Aufgabe ist kein einfacher Spaziergang – besonders, wenn es um Funktionen und Ableitungen geht. Lass uns der Herausforderung gemeinsam begegnen.
Zuerst geht es um die Formel die das Besucheraufkommen beschreibt. Es handelt sich um die Funktion: f(t) = -t³ + 24t² - 117t + 182. Wir betrachten den Zeitraum zwischen 7:30 und 16:30 Uhr. Dieser wird als t dargestellt, obwohl dabei 7:30 ⌚ als t=0 und 16:30 ⏰ als t=9 betrachtet wird. Zuerst - ebenfalls wenn der Anfang schwer fällt - müssen wir die Ableitung der Funktion bestimmen. Die Ableitung, f'(t) ist entscheidend. Sie zeigt uns, ebenso wie die Funktion f(t) sich verändert.
Hier ist die Ableitung: f'(t) = -3t² + 48t - 117. Um herauszufinden, wann die Besucherzahlen ansteigend sind, setze f'(t) > 0. Das bedeutet ´ wir suchen die Intervalle ` in denen die Ableitung positiv ist. Berechne die Nullstellen dieser Ableitung durch Nullsetzen. Das sind die Punkte – wo die Funktion maximal oder minimal sein könnte.
Mit den Wurzeln der quadratischen Funktion kannst du das Intervall bestimmen, in dem f'(t) positiv ist. Nutze die Mitternachtsformel. Sie lautet: t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. In diesem Fall also t = (48 ± √(48² - 4(-3)(-117))) / 2(-3). Einfacher ausgedrückt: Berechne die Diskriminante.
Setze die Werte ein. Nach der Rechnung erhältst du die Werte für t. Ein vielleicht schwieriger Prozess – aber notwendig. Frage dich – welche Werte fallen in das Intervall wo f' positiv ist?
Im nächsten Schritt - jetzt wird’s spannend! Du musst den höchsten Punkt suchen. Das geschieht durch die Ableitung – die genauso viel mit null gesetzt wird. Wir suchen nach Maxima und Minima. Das bedeutet: setze f'(t) = 0 und löse die Gleichung. Nun evaluiere die Funktion f(t) für die gefundenen Werte, denn die höchste Zahl an Besuchern – das Maximum – und die niedrigste – das Minimum, erreichen wir an diesen spezifischen Punkten.
Du wirst nun in der Lage sein » zu erkennen « wann die Besucherzahlen steigen und wann sie fallen. Ein wenig Geduld und Methode ist gefragt. Verständlicherweise mag der Einstieg knifflig sein. Aber eine gute Vorbereitung eröffnet dir eine neue Welt der Mathematik. Denke daran – jede Gleichung hat ihren eigenen Rhythmus – finde ihn!
Trotz der Schwierigkeiten – verlieren nicht den Mut. Mit konsequenter Übung wirst du in der Mathearbeit glänzen!
Mathe verstehen – Der Schlüssel zum Schulfest Besucheraufkommen
Wie bestimmt man die Zeiträume und Maxima in einer Funktion zur Beschreibung von Besucherzahlen?