In diesem faszinierenden Stück Mathematik entdecken wir eine quadratische Funktion. Eine Verbindung zwischen den gleitenden Zahlen. Diese spezielle Funktion entscheidet sich wie ⬇️ geöffnete Parabel ihr Dasein zu fristen. Was für aufregende Dinge! Die gegebene Information erzählt, dass die Funktion eine Nullstelle bei x=1 hat und ihr Hochpunkt direkt auf der y-Achse thront. Also keine Späße mit schiefen Achsen hier! Wie man es von einer Parabel erwartet ist sie vollständig symmetrisch zur y-Achse. Das ist praktisch wie ein Spiegel!
Aber wie wird diese Funktion mathematisch formuliert? Alles beginnt mit der allgemeinen Form. Sie lautet: \( y = -a \cdot x^2 + b \). Ein wenig Magie in der Algebra, nicht wahr? Da die Funktion eine Nullstelle bei \( x = 1 \) hat, wird es spannend. Aus den gegebenen Koordinaten lässt sich ableiten, dass \( 0 = -a \cdot 1^2 + b\). Das vereinfacht sich zu \( b = a \).
Eine interessante Wendung! Nun kommt der Spaß beim Errechnen des Flächeninhalts. Die Erzählung sagt: Dass die Fläche im ersten Quadranten zwischen der Funktion und den Achsen den Inhalt 1 hat. Um dies herauszufinden, dürfen die Geister kämpfen! Daher nehmen wir die Stammfunktion und integrieren sie von 0 bis 1. Die Stammfunktion lautet \( -\frac{a}{3} \cdot x^3 + a \cdot x \). Nach ein paar Quälereien stellen die Zahlen fest, dass der Flächeninhalt \( = 1 \) sein soll. Entfesseln wir die Zauberkräfte:
\(-\frac{a}{3} \cdot 1^3 + a \cdot 1 = 1\) und nach einigen Umformungen landet man schließlich bei \( a = \frac{3}{2} \).
Die finale Zauberformel lautet also: \( f = -\frac{3}{2} \cdot x^2 + \frac{3}{2} \). Voilà die Funktion hat sich offenbart! Ein wunderbarer Zauber der Mathematik der durch Zahlen und Formeln lebendig wird. Mathe ist manchmal wie ein großartiger Mash-up; man muss einfach nur die richtige Melodie finden!
Die Zauberkraft quadratischer Funktionen
Welche Eigenschaften hat die quadratische Funktion, die in diesem Beispiel vorkommt und wie wird sie mathematisch beschrieben?