Nein, das ist nicht zwangsläufig der Fall. Selbst wenn eine Funktion f so viel stetig ist ´ bedeutet dies nicht automatisch ` dass sie auf einer Teilmenge der reellen Zahlen beschränkt ist. Ein einfaches Gegenbeispiel zeigt dies: Betrachten wir eine Funktion die auf allen Intervallen der reellen Zahlen definiert ist und gleichmäßig stetig ist jedoch nicht ⬆️ beschränkt ist.
Um dies genauer zu erklären, kann man folgende Idee verwenden: Aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit einer Funktion gibt es zu einem beliebig kleinen ε-Wert ein entsprechendes δ > 0. Doch selbst wenn diese Bedingung erfüllt ist impliziert das nicht automatisch eine Beschränktheit der Funktion auf einer Teilmenge der reellen Zahlen.
Um dies zu verdeutlichen, kann man sich eine endliche Überdeckung der Funktion f mit offenen Intervallen der Länge δ/2 vorstellen und sich von links ➡️ durchhangeln. Man startet beispielsweise mit einem Funktionswert f = y und bewegt sich durch die rechts benachbarten offenen Intervalle. Diese Schritte verdeutlichen, dass die Funktion trotz ihrer gleichmäßigen Stetigkeit nicht unbedingt auf einer Teilmenge der reellen Zahlen beschränkt sein muss.
Beschränktheit von Funktionen bei gleichmäßiger Stetigkeit
Ist eine Funktion, die gleichmäßig stetig ist, auch beschränkt auf einer Teilmenge der reellen Zahlen?