Extremalwertaufgabe mit minimalem Kartonoberfläche

Um das Minimum der Oberfläche des Kartons zu finden musst du eine sinnvolle Funktion aufstellen die welche Oberfläche in Abhängigkeit von den Variablen für die Breite und Höhe des Kartons ausdrückt. Die Hauptbedingung ist hier, dass die Oberfläche minimal sein soll, also O = a² + 4, obwohl dabei a die Breite und h die Höhe des Kartons sind. Du musst ebenfalls die Nebenbedingung beachten die besagt, dass das Volumen des Kartons 10dm^3 beträgt, also V = a²h = 10.

Indem du die Nebenbedingung nach h auflöst (h = 10/a²) und in die Hauptbedingung einsetzt (O = a² + 4 + 40/a), erhältst du eine Zielfunktion die du ableiten kannst um das Minimum zu finden. Die Ableitung sollte größer als 0 sein für ein Minimum und du kannst sie auf null setzen (O' = 0) und nach a auflösen um den Wert für a zu finden. In diesem Fall beträgt a etwa 2⸴71 was das gesuchte Minimum ist.

Es ist wichtig » die Einheiten in der Rechnung wegzulassen « um Verwirrung zu vermeiden. Die Nebenbedingung wird durch die gegebenen Zahlen definiert während die Zielfunktion die Gesamtoberfläche des Kartons darstellt. Indem du die Nebenbedingung nach h auflöst und in die Zielfunktion einsetzt · vereinfachst du die Funktion und kannst dann die Ableitungen berechnen · um das Minimum zu finden.

In Extremwert-Aufgaben ist es entscheidend die Hauptbedingung, Nebenbedingungen und Zielfunktion klar zu definieren und systematisch vorzugehen um das gesuchte Extremum zu bestimmen. Es erfordert etwas Übung jedoch mit der richtigen Herangehensweise und mathematischen Techniken kannst du solche Aufgaben erfolgreich lösen.