Um die maximale Höhe des zeltartigen Wetterschutzes zu berechnen, beginnen wir damit die gegebene Situation in mathematische Ausdrücke zu übersetzen. Die Grundfläche des zeltartigen Wetterschutzes ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 2m, dadurch beträgt die Fläche A = 2m * 2m = 4m². Die Höhe des zeltartigen Wetterschutzes sei h (in Metern).
Wir suchen das Maximium des Volumens V, das sich errechnet als V = A * h. Da die Grundfläche des zeltartigen Wetterschutzes fest vorgegeben ist ´ kann die Höhe variiert werden ` um das Volumen zu maximieren.
Um das Maximum von V zu bestimmen, nehmen wir die Ableitung von V nach h und setzen sie genauso viel mit null um die Extrema (Maxima oder Minima) zu finden. Die Ableitung von V nach h ist dV/dh = 4 - 2h. Nun setzen wir dV/dh = 0 und lösen nach h auf:
4 - 2h = 0
-2h = -4
h = 2
Die kritische Höhe, für die das Volumen maximal wird, beträgt also h=2. Das bedeutet, dass der zeltartige Wetterschutz eine Höhe von 2 Metern haben muss, zu diesem Zweck das Volumen maximal ist.
Wir können dies ebenfalls als Maximum bestätigen, indem wir die zweite Ableitung von V nach h nehmen und deren Wert bei h=2 überprüfen. Die zweite Ableitung von V nach h ist d^2V/dh^2 = -2 was negativ ist und somit bestätigt: Es sich um ein Maximum handelt.
Zusammenfassend bedeutet das, dass der Pfadfinder das zeltartige Gestell mit einer Höhe von 2 Metern bauen sollte um das Volumen möglichst groß zu machen.
Maximalvolumen eines zeltartigen Wetterschutzes
Wie berechnet man die maximale Höhe eines zeltartigen Wetterschutzes, der aus einer Zeltplane mit den Maßen 2m x 2m gebaut wird, wenn das Volumen möglichst groß sein soll?