Monotonie bezieht sich auf das Verhalten einer Funktion und gibt Auskunft darüber, ob die Funktionswerte mit steigendem oder fallendem x-Wert immer größer oder kleiner werden. Eine Funktion f: D --> W heißt monoton steigend, wenn für alle a, b aus D gilt: a < b ⟹ f(a) ≤ f(b). Sie heißt streng monoton steigend, wenn für alle a, b aus D gilt: a < b ⟹ f(a) < f(b). Umgangssprachlich ausgedrückt bedeutet dies, dass bei monoton steigend die Funktionswerte entlang der x-Achse genauso viel mit bleiben oder größer werden, während bei streng monoton steigend sie immer größer werden, ohne gleich zu bleiben. Monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert.
Um das Konzept der Monotonie zu verdeutlichen, lassen Sie uns ein Beispiel betrachten: ein Fußballspiel. Wir betrachten die Spieldauer als x und die Anzahl der erzielten Tore als f(x). Wenn die Anzahl der erzielten Tore mit steigender Spieldauer immer größer oder gleich bleibt, handelt es sich um eine monoton steigende Funktion. Wenn die Anzahl der erzielten Tore mit steigender Spieldauer immer strikt größer wird, also nie gleich bleibt, dann handelt es sich um eine streng monoton steigende Funktion. Wenn die Anzahl der erzielten Tore mit steigender Spieldauer abnimmt oder gleich bleibt, dann ist es eine monoton fallende Funktion.
Die Grafik einer Funktion verläuft monoton wenn sie so viel steigt oder fällt also keine extremen Krümmungen aufweist. Eine streng monoton steigende Funktion würde bedeuten, dass die Funktionswerte bei höheren x-Werten immer größer werden und niemals fallen oder gleich bleiben. Wenn die Funktionswerte einen Moment lang gleich bleiben jedoch die Krümmung nicht so extrem ist, beschreiben wir den Graphen einfach als monoton steigend.
Zusätzlich zu der Definition und dem Beispiel ist es wichtig zu verstehen, dass Monotonie ein wichtiger Begriff in der Mathematik ist der in vielen verschiedenen Bereichen Anwendung findet. Es ist ein grundlegendes Konzept – um das Verhalten von Funktionen zu analysieren und zu verstehen.
Verständnisfrage zu Monotonie
Was ist Monotonie und wie kann man anhand eines Beispiels wie einem Fußballspiel erklären, ob eine Funktion monoton steigend, streng monoton steigend oder nicht monoton ist?