Um die Bereiche in der x.y-Ebene zu bestimmen, in denen die Ungleichung |x|-|x-1|+|y| > 3 erfüllt ist, müssen wir mit Fallunterscheidungen arbeiten.
1. Fall: x < 0
Für diesen Fall setzen wir x < 0 in die Ungleichung ein:
-x - -(x-1) + |y| > 3
Das Minuszeichen vor der Klammer wird auf beide Terme innerhalb der Klammer angewendet. Dann vereinfachen wir den Ausdruck:
-x + x - 1 + |y| > 3
Die x-Terme heben sich gegenseitig auf und wir erhalten:
-1 + |y| > 3
Wir addieren 1 zu beiden Seiten der Ungleichung:
|y| > 4
Dies bedeutet, dass die Ungleichung im Bereich x < 0 für alle Werte von y größer als 4 erfüllt ist.
2. Fall: 0 ≤ x ≤ 1
Für diesen Fall setzen wir 0 ≤ x ≤ 1 in die Ungleichung ein:
x - (x-1) + |y| > 3
Wir vereinfachen den Ausdruck:
x - x + 1 + |y| > 3
1 + |y| > 3
Subtrahieren wir 1 von beiden Seiten der Ungleichung:
|y| > 2
Dies bedeutet: Die Ungleichung im Bereich 0 ≤ x ≤ 1 für alle Werte von y größer als 2 erfüllt ist.
3. Fall: x > 1
Für diesen Fall setzen wir x > 1 in die Ungleichung ein:
x - (x-1) + |y| > 3
Wir vereinfachen den Ausdruck:
x - x + 1 + |y| > 3
1 + |y| > 3
Subtrahieren wir 1 von beiden Seiten der Ungleichung:
|y| > 2
Dies bedeutet, dass die Ungleichung im Bereich x > 1 für alle Werte von y größer als 2 erfüllt ist.
Zusammenfassend ergibt sich also folgendes:
- Die Ungleichung ist im Bereich x < 0 für alle Werte von y größer als 4 erfüllt.
- Die Ungleichung ist im Bereich 0 ≤ x ≤ 1 für alle Werte von y größer als 2 erfüllt.
- Die Ungleichung ist im Bereich x > 1 für alle Werte von y größer als 2 erfüllt.
Dies sind die Bereiche in der x.y-Ebene, in denen die Ungleichung |x|-|x-1|+|y| > 3 erfüllt ist.
Berechnung der Bereiche in der xy-Ebene, in denen die Ungleichung erfüllt ist
In welchen Bereichen der x.y-Ebene liegen diejenigen Punkte, für welche die Ungleichung |x|-|x-1|+|y| > 3 erfüllt ist?