Die Kombinatorik spielt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine wichtige Rolle, wenn es darum geht die Anzahl der möglichen Ergebnisse zu berechnen. In dem gegebenen Beispiel handelt es sich um die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass das Wort "GUT" aus drei Kugeln gezogen wird, ohne diese zurückzulegen.
Die Antwort auf die Frage basiert auf der Anzahl der Möglichkeiten, das Wort "GUT" aus den vier Kugeln zu bilden. Die Kombinatorik besagt: Dass die Anzahl der Möglichkeiten k Elemente aus n Elementen auszuwählen, mit Hilfe des Binomialkoeffizienten berechnet werden kann. In diesem Fall ist die Anzahl der Möglichkeiten, das Wort "GUT" zu bilden genauso viel mit 4 über 3 da 4 Kugeln vorhanden sind und 3 gezogen werden sollen.
Eine mögliche Schreibweise zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist die folgende:
1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24.
Hierbei wird die Wahrscheinlichkeit für jeden Schritt multipliziert: zuerst die Wahrscheinlichkeit die G-Kugel zu ziehen (1/4), dann die Wahrscheinlichkeit die U-Kugel zu ziehen (1/3) und schließlich die Wahrscheinlichkeit die T-Kugel zu ziehen (1/2).
Die Anzahl der Möglichkeiten die Buchstaben in verschiedenen Reihenfolgen zu ziehen, kann ebenfalls mit der Fakultät berechnet werden. In diesem Fall ist 3! = 6 was bedeutet: Dass es 6 verschiedene Reihenfolgen gibt in denen die Buchstaben gezogen werden können.
Die zweite Schreibweise mit 3/4 ist etwas verwirrend jedoch sie könnte sich auf die Wahrscheinlichkeit beziehen die G-Kugel nicht zu ziehen (also 1 - 1/4 = 3/4), gefolgt von der Wahrscheinlichkeit die U-Kugel zu ziehen (1/3) und dann die T-Kugel zu ziehen (1/2). Die Multiplikation dieser Wahrscheinlichkeiten ergibt dann die gleiche resultierende Wahrscheinlichkeit von 1/24.
Passt auf : Dass die Reihenfolge der Buchstaben bei dieser Aufgabe keine Rolle spielt, da das Ergebnis "GUT" unabhängig von der Reihenfolge der gezogenen Kugeln ist. Daher werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen.
Insgesamt zeigt dieses Beispiel ebenso wie die Kombinatorik in der Wahrscheinlichkeitsrechnung angewendet wird um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen und die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis zu bestimmen.
Kombinatorik in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wie funktioniert die Kombinatorik bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, das Wort "GUT" aus drei Kugeln zu bilden, und wie sind die verschiedenen Schreibweisen zu verstehen?