Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus

Um ein lineares Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus zu lösen, gehen wir in mehreren Schritten vor. Zunächst betrachten wir das gegebene lineare Gleichungssystem (LGS) und erweitern es zu einer erweiterten Koeffizientenmatrix. Anschließend wenden wir den Gauß-Algorithmus an um die Koeffizientenmatrix durch elementare Zeilenoperationen in die reduzierte Zeilenstufenform zu überführen.

Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, das auf der Elimination von Variablen basiert. Durch die Anwendung elementarer Zeilenoperationen (Multiplikation, Addition, Vertauschung) wird das Gleichungssystem so umgeformt, dass es einfacher zu lösen ist.

Im vorliegenden Fall beginnen wir mit der gegebenen Koeffizientenmatrix und führen die folgenden Schritte durch:

1. Erweitern der Koeffizientenmatrix:
Das gegebene LGS wird zunächst zu einer erweiterten Koeffizientenmatrix umgeformt, obwohl dabei die rechte Seite der Gleichungen in eine zusätzliche Spalte eingefügt wird.

2. Anwenden des Gauß-Algorithmus:
a) Bestimmen des führenden Koeffizienten: Der Koeffizient vor der ersten Variablen in der ersten Gleichung wird als führender Koeffizient betrachtet. In diesem Fall ist der führende Koeffizient 1.
b) Nullen unter dem führenden Koeffizienten erzeugen: Durch die Anwendung von elementaren Zeilenoperationen (Multiplikation, Addition) werden die Einträge unter dem führenden Koeffizienten zu Nullen gemacht. Dies erfolgt durch Subtraktion geeigneter Vielfacher der ersten Zeile von den nachfolgenden Zeilen.
c) Wiederholen der Schritte a) und b) für die verbleibenden Gleichungen: Die Schritte a) und b) werden für die verbleibenden Gleichungen wiederholt, bis die Koeffizientenmatrix in reduzierter Zeilenstufenform vorliegt.

Nach erfolgreicher Anwendung des Gauß-Algorithmus erhält man die reduzierte Zeilenstufenform der Koeffizientenmatrix, aus der sich die Lösung des Gleichungssystems ablesen lässt. Dabei entsprechen die Spaltenpositionen der Variablen den spaltenweise vorgehenden Variablen.

Essenziell bleibt bei der Anwendung des Gauß-Algorithmus sorgfältig vorzugehen um Rechenfehler zu vermeiden und eine korrekte Lösung zu erhalten. Zudem kann es hilfreich sein ´ mit exakten Brüchen zu rechnen ` um Ungenauigkeiten zu vermeiden.

Insgesamt stellt der Gauß-Algorithmus ein mächtiges 🔧 zur Lösung linearer Gleichungssysteme dar und ermöglicht es, ebenfalls komplexe Systeme effizient zu bearbeiten.