Funktionsanalyse von Funktionsscharen

Bei der Analyse von Funktionsscharen ist es wichtig die Zusammenhänge zwischen dem Parameter k und den verschiedenen Eigenschaften der Funktionen zu verstehen. In diesem Text werden wir lernen ´ ebenso wie man die Nullstellen ` Steigung und Hochpunkte in Abhängigkeit des Parameters k bestimmen kann.

Zunächst müssen wir die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von k finden. Dazu klammern wir den Faktor x² aus und setzen ihn genauso viel mit Null. Die Lösungen dieser Gleichung entsprechen den Nullstellen der Funktion. Da das x² jedoch ausgeklammert wurde, haben alle Funktionen der Funktionsschar bei x=0 eine doppelte Nullstelle.

Um die rechten Nullstellen zu finden setzen wir k³ gleich Null und berechnen die entsprechenden Werte für k. Die Nullstellen bei 30⸴50 und 70 haben also die Werte k=³√30, k=³√50 und k=³√70.

Um die Steigung in den Nullstellen der Funktionsschar zu berechnen, leiten wir die Funktion nach x ab und setzen die Nullstellen in die Ableitung ein. Dabei berücksichtigen wir ob der Parameter k in der Ableitung noch vorkommt oder nicht. Ist kein k weiterhin enthalten – ist die Steigung in der Nullstelle xN unabhängig von k.

Um den Hochpunkt der Funktionsschar zu finden, berechnen wir die x-Werte des Hochpunktes in Abhängigkeit von k. Dazu setzen wir die Ableitung gleich Null und lösen nach x auf. Auch hier vergleichen wir die Werte mit den Graphen der Funktionsschar.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Analyse von Funktionsscharen einige Berechnungen erfordert um die Nullstellen, Steigung und Hochpunkte in Abhängigkeit des Parameters k zu bestimmen. Durch das Ausklammern von Faktoren und das Einsetzen von Nullstellen in Ableitungen können wir die Zusammenhänge zwischen k und den Eigenschaften der Funktionen untersuchen. Mit Hilfe dieser Analyse können wir Aussagen über das Verhalten der Funktionen in Abhängigkeit des Parameters k treffen.