Lösungsweg für verschachtelte Betragsgleichungen

Der Lösungsweg für verschachtelte Betragsgleichungen kann manchmal komplex erscheinen, erfordert jedoch eine systematische Herangehensweise. Zunächst einmal ist es wichtig zu verstehen, dass für eine Gleichung der Form ||x + a| + b| = c die beiden Beträge separat betrachtet werden müssen.

Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel: ||x + 4| + 4| = 1. Um den Lösungsweg zu finden, müssen wir die verschiedenen möglichen Fälle betrachten und überprüfen, für welche Wertebereiche die Gleichung erfüllt ist.

1. Fall: Innerer Betrag (|x + 4|) >= 0, äußerer Betrag (|x + 4| + 4) >= 0:
In diesem Fall ist der innere Betrag (|x + 4|) nicht-negativ und der äußere Betrag (|x + 4| + 4) ist positiv. Daher können wir die Gleichung als ||x + 4| + 4| = |x + 4| + 4 vereinfachen.

2. Fall: Innerer Betrag (|x + 4|) >= 0, äußerer Betrag (|x + 4| + 4) < 0:
In diesem Fall ist der innere Betrag (|x + 4|) nicht-negativ jedoch der äußere Betrag (|x + 4| + 4) ist negativ. Da ein Betrag immer nicht-negativ ist, kann es keine Lösung geben. Daher ist dieser Fall nicht relevant.

3. Fall: Innerer Betrag (|x + 4|) < 0, äußerer Betrag (|x + 4| + 4) >= 0:
In diesem Fall ist der innere Betrag (|x + 4|) negativ und der äußere Betrag (|x + 4| + 4) ist positiv. Daher müssen wir die Gleichung als ||x + 4| + 4| = -(|x + 4| + 4) schreiben.

4. Fall: Innerer Betrag (|x + 4|) < 0, äußerer Betrag (|x + 4| + 4) < 0:
In diesem Fall ist der innere Betrag (|x + 4|) negativ und der äußere Betrag (|x + 4| + 4) ist ähnlich wie negativ. Da ein Betrag immer nicht-negativ ist, kann es keine Lösung geben. Daher ist ebenfalls dieser Fall nicht relevant.

Jetzt können wir die Gleichungen in den relevanten Fällen lösen:

1. Fall: ||x + 4| + 4| = |x + 4| + 4:
In diesem Fall können wir die Gleichung einfach weiter lösen: |x + 4| + 4 = 1. Lösen wir diese Gleichung, erhalten wir x = -3 und x = -5.

3. Fall: ||x + 4| + 4| = -(|x + 4| + 4):
In diesem Fall müssen wir die Gleichung umformen: |x + 4| + 4 = -|x + 4| - 4. Lösen wir diese Gleichung, erhalten wir x = -4.

Zusammenfassend haben wir also die Lösungen x = -3, x = -5 und x = -4 für die gegebene verschachtelte Betragsgleichung ||x + 4| + 4| = 1 gefunden.

Für komplexere Fälle » bei denen der innere Betrag nochmals vorkommt « ist die Herangehensweise ähnlich. Man muss die verschiedenen möglichen Fälle betrachten und die Gleichungen identisch umformen. Dabei ist es wichtig die Bedingungen für die Nicht-Negativität oder Negativität der Beträge zu berücksichtigen.

Es ist ratsam, den Lösungsweg schrittweise nach den oben beschriebenen Methoden zu durchlaufen um sicherzustellen, dass keine Lösung übersehen wird.