Jemand erklären was rotation divergenz steckt

Kann mir jemand erklären was hinter Rotation und Divergenz steckt?

Ich brauch' das in mathematischer Hinsicht.

Srt ist mist_verständlich. Das ist spezielle Relativitätstheorie.
Versuchen wir ' s mal.
Wenn du grad längs einer Kurve integrierst, kriegst du die Potenzial_Differenz:
INTEGRAL < grad|ds> = U - U
Dabei habe ich die Dirac_Schreibweise für das Skalarprodukt benutzt. Das Integral des Gradienten längs einer geschlossenen Kurve verschwindet dann natürlich.
RUNDLAUF_INTEGRAL < grad|ds> = 0
besitzt eine unmittelbare Verallgemeinerung; den Satz von Stokes. Kennst du z.B. den Cauchyschen Integralsatz in der Funktionentheorie? Wäre jetzt sehr hilfreich. Für ein Vektorfeld W
RUNDLAUF_INTEGRAL = INTEGRAL < rot|df> df ist der Flächen_Normalenvektor. Ein Vergleich von mit lehrt sofort
rotU
Du hast aber auch die Umkehrung. Wenn den Existenzquantor bedeutet
rot = 0 U | W = - grad
Die Divergenz kommt dann beim Satz von Gauß vor. Folgende verbürgte Anekdote:
"Meine Herren; dat hat schon de jroße Jauß jesaht."
"Hr. Prof.; schreibt man Gauß eigentlich mit G oder mit J?2
"Mit Jeh, meine Herrn; mit Jeh."
Wir haben jetzt keine geschlossene Kurve, sondern ein Volumen mit berandender Oberfläche. Diese ist orientiert; die Normale zeigt immer nach außen.
RUNDLAUF_INTEGRAL = INTEGRAL div dV
Stell dir mal vor, ein Vektorfeld A erfüllt die Identität
A = rot
Man sagt dann, W ist das Vektor_Potenzial von A. Eine Situation, die für dich bei Magnetfeldern lebenswichtig wird. Du willst jetzt den Fluss von A durch die Fläche F berechnen.
S := INTEGRAL Wenn du jetzt in einsetzt, kannst du als rechte Seite von auffassen. Dann sagt die linke Seite von aber aus, dass du in diesem Fall ein Fluss_Integral zu einem Kurven_Integral vereinfachen kannst. Du irrst durchaus, wenn du vermeinst, das Innengebiet einer Kreislinie müsse ein ebener Querschnitt sein. Du kannst die Innenfläche aufblasen wie einen Heißluft_Ballon. Die Öffnung bleibt konstant; und der Ballon wird immer größer. Der Fluss von A durch all diese Ballönger bleibt gleich, weil er mit dem Kurven_Integral auf der linken Seite von übereinstimmt.
Jetzt klebst du zwei Ballonflächen zusammen. Sagen wir eine konvexe und eine konkave. Daraus ergibt sich dann ein geschlossenes Ei. Das ist jetzt ein bisschen schwierig. Wir haben gesagt, die Flächennormale muss immer nach außen zeigen. Per Saldo fließt in die konkave Fläche genau das rein, was aus der konvexen wieder raus kommt. Ich will damit sagen: wenn du A in die linke Seite von einsetzt, kriegst du Null
div = 0
divW
Analog gilt auch hier
div = 0 W | A = rot

Mir ist sogar noch eine witzige Ergänzung eingefallen. Hat aber einstweilen keinen Zweck. Mal im Ernst: kennst du die Integralsätze von Gauß und Stokes? Findest du im Becker_Sauter oder zur Not auch im Jackson erklärt. Man könnte geradezu sagen: das, was du suchst, also der anschauliche Sinn von div und rot, ergibt sich erst aus obigen Integralsätzen. Ich wüsste echt mal gerne, wo man da noch Schwierigkeiten haben kann. Du sollst es nur lernen - richtig konkret mit Bildchen und so. Keiner verlangt von dir den mathematischen Tiefsinn, den es zweifellos hinter dieser Theorie auch noch gibt.
Dass ich dir nicht helfen konnte, find ich schon ein bisserl mager. Stell doch wenigstens mal paar gescheite Fragen.

Ich bezweifle, ob du dich bei deinem Bildungsstand schon auf äußere Differenzialformen einlassen kannst. Du formulierst auch so komisch.
Richtig muss es heißen: der Gradient besitzt eine Stammfunktion; nämlich das Potenzial(Man sagt, der Gradient stellt eine vollständige DF dar.
Nun haben wir gesehen:
rot = 0
Wenn die rot verschwindet, dann sagt man, die DF ist abgeschlossen. Du kennst doch den Hauptsatz der Analysis: Differenzial_und Integralrechnung sind Umkehrungen voneinander. Genau so ist es hier auch.
abgeschlossen vollständig
Mit div, rot und dem Vektor_Potenzial kannst du das selbe Spielchen machen. Das ist eine ganz allgemeine, abstrakte Aussage. In noch höheren als 3 Dimensionen gibt ' s noch viel mehr. Hör einfach mal auf, an diesem grad zu kleben. Vielleicht hilft dir das ja weiter.

Du solltest mir noch mal antworten.
Kannst du rein algebraische Tensorrechnung?
Weißt du, was die Grassmann_Algebra ist?
Weißt du, was eine äußere Differenzialform ist?
Und im Hinblick auf Gauß und Stokes: kannst du Turmtheorie?
Würd mich schon mal intressieren. Wenn du also wirklich gut bist und selber arbeiten gelernt hast, würde sich die ganze Frage eigentlich erübrigen. Was bist du denn? Mathe_Student?
Ich erzähl dir mal eine Anekdote. Unser Assistent Wolf Groß hat den Mathematikern so richtig eingeheizt, dass sie Schlafmützen sind. Es geht nicht um divrot = 0. Es geht darum, dass aus div = 0 die Existenz des Vektorpotenzials A : B = rot folgt.
Ich hab ja gegrinst. Stellen die sich hin und fragen den, wie man sowas beweist. Die waren so deppert, dass die nicht mal die Antwort voraus gesehen haben.
"Keine Ahnung, meine Herren. Fragen Sie doch nicht mich. Woher soll denn ich das wissen? Ich halte Ihnen nur vor, dass Sie die Notwendigkeit dieses Existenz_Beweises nicht eingesehen haben."
Naja. Er wurde dann im Ton versöhnlicher. Es sei ihm kein Buch bekannt, wo das kommt.
Die nicht triviale Richtung. Jede abgeschl. n_Form ist vollständig. Ein Induktionsbeweis über ein System linearer partieller Difgl. Ich fand es in einem antiquarischen Werk; Sorbonne 1890. So wie der Groß bringen Einen im Studium echt weiter.

Ach eine Frage hätt ich noch. Lass m nicht dumm sterben. Was hat dir denn dieser Mattetiker so Wesentliches geschrieben?

Besorg dir mal den alten Courant_Hilbert. Der erklärt in seinem Band II, wie du Doppel_und Dreifach_Integrale über zwei_und dreidimensionale Gebiete ausrechnest.
Es ist fast nur Routine. Mal ganz blöd gefragt: wenn du das Volumen einer Kugel mit Integralrechnung lösen solltest. Oder berechne mal ein Trägheitsmoment. Da kommt das bei normalen Physikern nämlich vor. Und jetzt bist du unsicher, weil du
' eine Klasse übersprungen ' hast. Stimmt ' s?

Gut, das war ausführlich.hat mich meinem Problem aber leider keinen Schritt weitergebracht.

Ich hab' mir gerade mal von einem Mathematiker ein Buch geben lassen.
Damit und mit dem was du mir geschrieben hast, habe ich mein Problem schon so gut wie gelöst.

Ich studiere Systemtechnik und technische Kybernetik, das ist zwar kein Mathetikstudium aber bei "Mathe für Elektrotechniker" muss ich mich auch mit Vektorfeldern, Dreifachintegralen und so'n Zeugs rumärgern. Ich wollte halt mal mein Wissensstand etwas erweitern, um meinen Kommilitonen (einige sitzen in "Analysis für Mathematiker", so krass bin ich nicht drauf) nicht hinterherzuhängen.
Das Buch heisst "Mangold Knopp Einführung in die höhere Mathematik". Damit hab' ich erst verstanden was du mir da geschrieben hast.

Für so viel Punkte hab ich noch was wieder gut zu machen. Ich will alle Gl. mit ' Eins Punkt ' zitieren; also statt Wir wollten doch einsehen, dass das Fluss_Integral null ergibt
S := OBERFL_INTEGRAL!= 0
unter der Vor. Dies dient dann zur Begr. von Einzig Wheeler bringt hier eine befriedigende Begr. Auch uns wurde es im Studium nicht erklärt.
Du kannst auch hier Wieder als rechte Seite von auffassen:
S = RUNDLAUF_INTEGRALF2.2b)
Topologisch lässt sich allg. zeigen - dazu braucht ' s keine Metrik geschweige R oder gar Integralr. -
Rand = Leere Menge
Die leere Menge ist eine Nullmenge und daher ihre ' Länge ' auf der linken Seite von gleich null
Oder im Bild des Heißluftballons. Die Randkurve der Oberfl. bzw. der Lufteinlass_Öffnung geht gegen einen Punkt
(' Ein Kreis ist ein aufgeblasener Punkt ')
Dieser Punkt ist zwar kein Randpunkt der Oberfl. weil der Rand ja die leere Menge ist. Aber der Lebesguesche Maßintegral_Begriff, den wir hier benutzen, ist sowieso nur bis auf Nullmenge definiert. Wenn zwei Integrations_Gebiete ' fast überall ' übereinstimmen, haben sie das selbe Integral.