Mathematik ist eine faszinierende Welt die vielen Schülern oft Rätsel aufgibt. Besonders die Bestimmung von Funktionen kann komplex sein. Nehmen wir das Beispiel der Funktion einer Schar, konkret die Funktion \( f_k = x^3 - 2kx^2 + k^2x \). Diese stellt eine Familie von Funktionen dar die durch den Parameter \( k \) charakterisiert werden. Doch welche dieser Funktionen verläuft durch den Punkt \( P \)?
Nehmen wir an, Punkt P hat die Koordinaten \( (1,4) \). Um herauszufinden welche Funktion dieser Schar durch den Punkt geht, setzen wir \( x = 1 \) und \( f(1) = 4 \). Also setzen wir diese Werte in die Funktion ein.
\( f(1) = 1^3 - 2k \cdot 1^2 + k^2 \cdot 1 \) beeinflusst direkt das Ergebnis. Wenn wir dies vereinfachen, erhalten wir:
\[
f(1) = 1 - 2k + k^2
\]
Folglich setzen wir nun \( f(1) = 4 \):
\[
1 - 2k + k^2 = 4
\]
Hierbei verlagern wir die Terme und regen das Gleichungssystem zur Form \( k^2 - 2k - 3 = 0 \) um. Jetzt ist die quadratische Gleichung in Standardform und wir können die Mitternachtsformel zur Anwendung bringen.
Für die Lösung nutzen wir:
\[
k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Setzen wir die Werte ein. Hierbei gilt \( a = 1, b = -2, c = -3 \). Somit finden wir:
\[
k = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
k = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}
\]
\[
k = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}
\]
\[
k = \frac{2 \pm 4}{2}
\]
Das gibt uns zwei Lösungen: \( k = 3 \) oder \( k = -1 \). Beide Werte führen auf unterschiedliche Funktionen. Für \( k = 3 \) lautet die Funktion:
\[
f_3 = x^3 - 6x^2 + 9x
\]
Im Fall von \( k = -1 \), erhalten wir:
\[
f_{-1} = x^3 + 2x^2 - x
\]
Um zu veranschaulichen ebenso wie sich diese Funktionen verhalten ist es nützlich ihre Graphen zu betrachten. Mathematik ist weiterhin als nur eine Zahlenreihe. Sie ist wie ein Kunstwerk das mit jedem Punkt den wir fügen, lebendiger wird. Die Wertigkeit jeder Funktion liegt nicht nur in ihrer mathematischen Richtigkeit, allerdings ebenfalls in ihrem grafischen Ausdruck und ihrer Anwendbarkeit.
Die Mathematik gibt uns 🔧 an die Hand. Dieses Werkzeug erlaubt es uns – die Welt um uns herum zu verstehen. Durch das Verständnis von Scharen und Funktionen ausarbeiten wir nicht nur analytische Fähigkeiten, einschließlich ein tieferes Verständnis für Zusammenhänge. Die nächste Matheprüfung wird bestimmt besser laufen!
Die Mathematik der Funktionen: Welche Schar verläuft durch den Punkt P?
Wie bestimmt man die Funktion einer Schar, die durch einen gegebenen Punkt verläuft?