Berechnung von Höhenunterschieden und Steigungen: Ein Mathematikfall

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Mathematik kann manchmal wie ein Rätsel erscheinen. Besonders dann – wenn es um das Berechnen von Höhenunterschieden und Steigungen geht. Gerade heute schauen wir uns den Fall von Karl an. Er fährt mit seinen Eltern im Auto nach Italien. Auf dieser Reise gibt es weiterhin als nur kurvenreiche Straßen. Es gibt ebenfalls Anstiege – die wir mathematisch nachvollziehen werden.

Karl entdeckt ein Schild. Es kündigt an, dass die Straße in den nächsten 800 Metern um 15 % ansteigt. Dann sieht er ein weiteres Schild. Dieses zeigt an, dass die folgende Strecke von 500 Metern um 7 % ansteigt. Jetzt kommt die Frage: Wie groß sind die jeweiligen Höhenunterschiede dieser beiden Straßenabschnitte? Und noch wichtiger – welcher dieser Abschnitte ist steiler?

Beginnen wir mit den Berechnungen. Ein ％ Steigung bedeutet – dass auf jeder 100 Meter Strecke die Höhe um einen Meter steigt. Für die Straße mit 15 % Steigung bedeutet dies – jeder Kilometer gewinnt eine Höhe von 15 Metern. Bei einer Strecke von 800 Metern wird der Höhenunterschied berechnet. Hier ist die Rechnung einfach – 0⸴15 multipliziert mit 800 Metern führt uns zu einem Höhenunterschied von 120 Metern. Auf der anderen Seite haben wir den Abschnitt mit 7 %. Dies ergibt sich ähnlich wie aus der einfachen Proportionalität: 0⸴07 Mal 500 ergibt 35 Meter. Jetzt wird es spannend. 15 % ist um mehr als das Doppelte steiler als 7 %.

Es ist bemerkenswert » die Technik zu verstehen « die hinter der Berechnung dieser Werte steckt. Die „Prozent Steigung“ sind nicht gleichzusetzen mit Winkelgraden - ein häufiges Missverständnis. 100 % Steigung entspräche einem Winkel von 45 Grad.

Um die korrekten Steigungen zu bestimmen nutzen wir die Formel der Tangensfunktion. So entspricht tan(α) = h/800 m für den ersten Abschnitt, obwohl dabei h der Höhenunterschied ist. Umgestellt nach h ergibt dies: h = 0⸴15 * 800 = 120 m. Bei der Berechnung des Winkels erhalten wir für α = 8⸴53°. Bei 7 % Steigung sieht die Formel anders aus. Hier gilt tan(β) = 0⸴07. Um den Winkel β zu berechnen ergibt sich schließlich ein Wert von etwa 4°.

Noch eine kleine Ergänzung für all jene die mit dem Thema tiefer eintauchen möchten – das Hochrechnen dieser Steigungen auf andere Strecken ist nützlich. Eine Strecke von 800 Metern mit einer Steigung von 15 % bedeutet ein Hoch von etwa 120 Metern, während 500 Meter mit 7 % nur einen Anstieg von 35 Metern erreichen.

Zusammenfassend lässt sich sagen – wenn eine Straße um 15 % ansteigt, kann man davon ausgehen, dass der Höhenunterschied bei 800 Metern erheblich ist im Vergleich zu 500 Metern mit einer Steigung von 7 %. Mathematische Herausforderungen bringen uns oft überraschende Einsichten. Und wer hätte gedacht, dass eine Fahrt nach Italien so lehrreich sein kann?