Maxima und Minima in der Mathematik: Wie erkenne ich sie auf einen Blick?

Mathematik, das kann eine echte Herausforderung sein. Doch insbesondere die Analyse von Parabeln birgt viel Potenzial, das man sich erschließen kann. Über die y-Koordinaten der Scheitelpunkte der Parabeln kann man die maximalen oder minimalen Funktionswerte direkt ablesen. Zwei spezielle Fälle stehen zur Diskussion. Nehmen wir zunächst die Gleichung a) y=0,25x² und anschließend b) y=-5x².

Man mag zu denken: Dass man diese Funktionen umformen muss um zu erkennen ob ein Maximum oder Minimum vorliegt. Das ist jedoch nicht nötig — höchstens der Einstieg in die Materie. Bei y=0,25x² sieht man auf einen Blick, dass die Parabel ⬆️ geöffnet ist. Das führt direkt zu der Schlussfolgerung: Dass ein Minimum existiert. Bei der zweiten Funktion, y=-5x², erkennt man sofort die ⬇️ geöffnete Parabel was sofort auf ein Maximum hinweist.

Was bedeutet das konkret? Natürlich kann man dazu lernen, ebenso wie man den Funktionsverlauf anhand der Gleichung abschätzt. Eine einfache Regel reicht dafür meist aus. Das Glied mit dem höchsten Exponenten ist aussagekräftig. Exponent 1 steht für eine Gerade. Exponent 2 symbolisiert eine Parabel. Ist der Koeffizient positiv – ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist er negativ; wird sie nach unten geöffnet.

Spannend wird es: Bei einem Exponenten von 3 handelt es sich um eine Funktion die bei minus ♾️ beginnt und bis plus Unendlich verläuft. Ist der Koeffizient negativ – funktioniert dies ebendies umgekehrt. Variableneinführungen oder Glieder verschieben lediglich die Funktion was die Analyse nicht erschwert. Ein Bruch? Einfach den Limes bilden! Wo läuft die Funktion im Unendlichen hin? Das gibt Hinweise.

Was ist mit den Nullstellen? In vielen Fällen kann man sie ebenfalls erkennen, ohne aufwendiges Rechnen durchzuführen. Man spürt förmlich wo die Funktion die Abszisse berührt oder durchstößt. Übung ist das A und O. Solltest du im Mathematikstudium sein oder einen Mathestudenten als Nachhilfelehrer haben, frage nach den Aufgaben: „Erkenne den Graphen anhand der Funktion und skizziere ihn, ohne zu rechnen!“ Es hat sich gezeigt, dass dies schnell gelernt wird.

Schließlich gibt es einen rechnerischen Ansatz. Die Nullstelle der ersten Ableitung zeigt die Extrempunkte. Man bildet also die erste Ableitung und setzt sie genauso viel mit null. Dabei spielt das Vorzeichen der Parabel eine entscheidende Rolle — ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist. Die Ableitung selbst zeigt nicht nur die Wichtigkeit der Steildeutung. Wo die Steigung null ist – kann man sicher von einem Extrempunkt ausgehen.

In der Summe: Du kannst Maxima und Minima ohne umfangreiche Umformungen erkennen, wenn du die grundlegenden Eigenschaften von Parabeln und deren Graphen verstehst. So einfach ist das!