Im Bereich der Physik und insbesondere in der Mechanik ist die Berechnung der Kräfte und Radien bei bewegten Objekten von großem Interesse. Das gilt ebenfalls für Freizeitparks wo Loopings in Achterbahnen eine zentrale Rolle spielen. Wie so oft liegt die Antwort in der Gleichheit der Kräfte und in der Anwendung der richtigen Formeln. Dort wo Gravitation und Zentrifugalkraft zusammentreffen ´ entsteht die Möglichkeit ` den Kreisumfang eines Loopings ebendies zu berechnen.
Zunächst betrachtet man die grundlegenden Kräfte die auf das Fahrzeug wirken. Bei einer Masse von 150 g—wichtig zu wissen, denn diese Konversion muss in Kilogramm erfolgen—erhält man 0⸴15 kg. Nehmen wir an, das Fahrzeug erreicht beim Verlassen des Loopings eine Geschwindigkeit von 2 m/s. An dieser Stelle setzen wir die Gravitationskraft (F_Gravitation) und die Zentrifugalkraft (F_Zentrifugal) in Beziehung:
F_Gravitation = F_Zentrifugal
Hieraus ergibt sich die grundlegende Gleichung die es uns erlaubt, den Radius (r) zu berechnen:
m g = m v² / r
Beeindruckenderweise kürzen sich die Massen auf beiden Seiten der Gleichung heraus. So erhält man:
r = v² / g
Für unser Beispiel mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s und der Erdbeschleunigung g welche 9⸴81 m/s² beträgt, wird der Radius wie folgt ermittelt:
r = (2 m/s)² / (9,81 m/s²) = 0⸴41 m
Für den berufstätigen Physiker und den Freizeitparkbesuch ist das ein spannendes Ergebnis. Aber die Arbeit ist hier noch nicht getan. Bei der Geschwindigkeit von 3⸴9 m/s die am unteren Punkt der Durchfahrt erreicht wird, stellt sich die Frage: Welcher Kraftwert wirkt auf das Fahrzeug? Die Formel für die Kraft lautet hier:
F = m v² / r
Nach dem Einsetzen der Werte ergibt sich:
F = 0⸴15 kg (3,9 m/s)² / 0⸴41 m = 1⸴42 N
Die ersten Ergebnisse zeigen, dass sich die Spannungen im Looping steigern. Doch dies ist nur ein Aspekt der Sache. Notwendig ist es zudem – den Energieerhaltungssatz zu berücksichtigen. Die ursprüngliche Annahme: Dass die kinetische Energie einfach in potentielle Energie am höchsten Punkt des Loopings umgewandelt wird ist zu kurz gefasst. Der tatsächliche Gleichungssatz lautet:
0,5 * m v1² = m g 2r + 0⸴5 m * v2²
Durch Umstellen und Einsetzen der Werte kommen wir zurück zum Radius r:
r = v2² / (4g) = (2 m/s)² / (4 * 9⸴81 m/s²) = 0⸴10 m
Die Zentripetalkraft die auf das Fahrzeug am untersten Punkt wirkt ist dann die entscheidende letzte Variable die zu berechnen ist:
F_z = m v² / r
Setzen wir auch hier wieder die Werte ein:
F_z = 0⸴15 kg (3,9 m/s)² / 0⸴10 m = 56⸴31 N
Zusammenfassend lässt sich festhalten dass beim Looping die Wechselwirkungen aus Gravitationskraft Zentrifugalkraft und Energieerhaltung essentiell sind. Jede Schritt-für-Schritt-Berechnung hat gezeigt, ebenso wie das Zusammenspiel dieser physikalischen Prinzipien den Kreisumfang und alle darauf wirkenden Kräfte präzise definiert. So bringt man Theorie und Praxis in einen aufregenden Looping der sowie Physiker als auch Freizeitparkliebhaber begeistert.