Funktion f 1 12x 4 6x 3 x 2

Bei der Funktion f= 1/12x^4-1/6x^3-x^2

x² ausklammern - also ist 0 schon mal Nullstelle
Dann mit der "übrig bleibenden" quadratischen Funktion eine ganz normale Kurvendiskussion machen.

bzw. mit der "übrig bleibenden" quadratischen Funktion die Nullstellen bestimmen
und mit den Ableitungen der Ursprungsfunktion die anderen Werte berechnen.

Rechnen musst Du schon selbst.
Am Graphen
http://www11.wolframalpha.com/input/?i=Plot+1%2F12*x^4+-+1%2F6*x^3+-+x^2+from+-4+to+6
kannst Du Deine Ergebnisse kontrollieren.

Nein; muss er nicht. Diese Aufgabe ist derart spannend; wohl keine Lust heute, was? Aus meiner Antwort wird unser freundlicher Gast sicher noch zu lernen.

Alles auf den Hauptnenner
f := x ^ 4 - 2 x ³ - 12 x ²
= x ²
Ich mache die ganze Kurvendiskussion. Ach ich seh grad; die wolltest du ja auch. Ich bin nämlich Alfons der nicht zu Bremsende, musst du wissen. Aus lesen wir eine doppelte Nullstelle ab
x2;3 = 0
Es bleibt
g := x ² - 2 x - 12 = 0
Wegen q < 0 sind beide Lösungen reell. Wir haben die Alternative: Entweder g ist prim; oder es gibt zwei rationale Wurzeln
x1;4 = p1;4 / q1;4
Nach einer privaten Mitteilung meines Freundes Ribek müssen dann die Teilbarkeitsbedingung erfüllen
p1 p4 = a0 =
q1 q4 = a2 = 1
Normierte Polynome wie können daher wegen wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Lösungen haben.
Es hat nicht sollen sein - obwohl sehr verheißungsvoll Eisenstein negativ testet.
Mitternachtsformel
x1;4 = 1 -/+ sqr
Kleiner Überredungsversuch: Vieta als Probe erweist sich in einer Klassenarbeit als überlebenswichtig; wäre mal ne Gelegenheit, eure Kenntnisse in der 3. binomischen auf zu frischen.
Die Asymptotik. Als gerades Polynom kommt von , schneidet die Abszisse erstmals bei x1, berührt sie im Ursprung ; und x4 ist dann der zweite Schnittpunkt. Dem zu Folge erwarten wir
x1 < x1 < 0 < x2 < x4
Ableitung; Extrema
f ' = 2 = 0
Wieder können wir x = 0 aus klammern; wegen der doppelten Nullstelle von war das ja zu erwarten. Es verbleibt
h := 2 x ² - 3 x - 12
Keine Ausrede; testet Eisenstein positiv mit Eisensteinzahl
p = 3
Das ist jetzt wie in der Medizin; Test positiv ist immer schlecht für uns. Es ist der Befund, dass wir krumme Wurzeln zu erwarten haben; ihr solltet als Erstes immer diesen Test durch führen. Normalform
x ² - 3/2 x - 6 = 0
MF
x1;2 = 1/4 105
Aber hier; jetzt gilt es Ungl. zu bestätigen. Mit haben wir
x4 = 1/4 16 * 13 = 208
Die Abschätzung kann komponentenweise erfolgen.
3 < 4 ; 105 < 208 ===> x2 < x4
Wenn wir jedoch den Betrag von x1 mit x1 vergleichen, können wir nicht gleich wissen: Wer gewinnt, Minuend oder Subtrahend? Der Trick: Unsere Kenntnis der Quadratzahlen wird uns darüber hinweg helfen. Zugegeben; für Schüler doch etwas anspruchsvoll.
sqr – 3 < sqr – 3 = 8 < 9 = sqr – 4 < sqr – 4 ===> | x1 | < | x1 |
Ganz offenbar sind jetzt zwei WP vor geschrieben; und zwar in Analogie zu
x1 < x1 < 0 < x2 < x2
Zweite Abl; siehe
f “ = 6 = 0
testet wieder Eisenstein negativ; denk daran, was Ribek unter gesagt hat – von Rechts wegen kannst du GANZZAHLIGE Wurzeln beanspruchen. Und es geht gut.
x1 = ; x2 = 2
Der Beweis von ist jetzt ein Klax; für x2 benötigen wir in
sqr > 5
bei x1 müssen wir allerdings verschärfen zu
sqr >