Frage satz bernoulli
Habe einen Artikel über den Satz des Bernoulli gelesen. Darin steht, dass wenn man annimmt, dass Luft eine konstante Dichte hat, Gleich viel Luft durch ein Rohr mit 5 Meter Durchmesser in einer bestimmten Zeit "fließt", wie durch ein Rohr mit nur einem halben Meter Durchmesser, wobei je kleiner der Durchmesser ist, desto schneller fließt die Luft. Alles begründet mit der konstanten Dichte. Ich bin irgendwie zu blöd das zu kapieren. Kann mir das jemand erklären?
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Frage zum Satz des Bernoulli
Da gibt es eine hoch berühmte Gleichung; auch beim elektrischen Strom ist sie zu ehren gelangt. Sie lautet
j = p v
Dabei sind j und v ===> Vektoren; j der Vektor der Stromdichte und v die Geschwindigkeit der Teilchen. p ist die dichte.
v hat Einheit m / sec , die Dichte
=
Dann folgt für j
=
also: Menge pro quadratmeter und Zeit.
Am Ehesten verstehst du diese Gleichung, wenn du dir einen strömenden Würfel aufmalst.
Die dichte der flüssigkeit ist konstant; in der Strömung staut sich auch nichts. Wenn das Rohr hinten breit ist und 10 kg Flüssigkeit hinein fließen, müssen vorne, auch wenn das rohr eng ist, auch wieder 10 kg raus kommen.
D.h. j nimmt umgekehrt proportional mit dem Querschnitt zu; eben so v.
Das ist nicht die Bernoulli-Gleichung, sondern die Kontinuitätsgleichung.
Die Bernoulli-Gleichung folgt eigentlich nur aus dem Energieerhaltungssatz. Dieser berücksichtigt kinetische, potentielle Energie, welche in der Summe stets konstant sind. Bei der Bernoulli-Gleichung wird lediglich Energie durch ein Volumen geteilt und man erhält dann Drücke.
Hier geht es aber um die Kontinuitätsgleichung. Drehe mal den Wasserhahn auf und du siehst, wie der Wasserstrahl nach unten hin dünner wird. Je schneller das Wasser fließt, desto geringer wird der Querschnitt.
Die Kontinuitätsgleichung folgt aus dem Masseerhaltungssatz. Was an Masse in ein Rohr pro Zeiteinheit hineinfließt, kommt mit demselben Massenstrom am Ende des Rohres auch wieder heraus, weil keine Masse verloren geht.
Massestrom ist Volumenstrom mal Dichte. Ist das Fluid inkompressibel, wie z.B. Wasser, dann ist auch der Volumenstrom am Anfang und am Ende des Rohres gleich. Und Volumenstrom ist Querschnitt mal Geschwindigkeit. Warum? Ein Volumen hat eine Grundfläche und eine Höhe. Im Rohr ist das ein Zylinder. Wenn jetzt über ein bestimmtes Zeitintervall ein Fluid durch ein Kontrollvolumen fließt, dann wird die Querschnittsfläche über eine Zeit mit einer bestimmten Fluidteilchengeschwindigkeit aufsummiert. Die Fluidteilchengeschwindigkeit über die Zeit integriert ist die Höhe.
So, und nun ändert sich der Rohrquerschnitt. Wir haben gesagt, der Volumenstrom bleibt konstant und ergibt sich aus Querschnittsfläche mal Geschwindigkeit. Wenn der Querschnitt nun geringer wird, aber der Volumenstrom dennoch konstant bleiben soll, was muss dann passieren?
Dann muss folglich die Geschwindigkeit größer werden.
Stelle dir eine Autobahn vor, bei der sich die Dichte nicht ändert, aber die 3-spurige Autobahn nun wegen einer Baustelle zur 2-spurigen wird. Normalerweise gäbe es jetzt einen Stau, die Geschwindigkeit würde langsamer werden. Da sich aber der Abstand zu den Autos nicht ändert, fahren die Autos auf der 2-spurigen Bahn schneller als auf der 3-spurigen.
Die Kontinuitätsgleichung ist an sich noch allgemeiner. Zwar respektiert sie Materie-Erhaltung, Staustufen sind aber zugelassen:
div + p = 0
Inkompressibel wäre
p = p = p0 = const ===> div