Brauche kompletterklärung mathe thema quadratische gleichungen super

gefunden bei wikipedia: Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0. Dabei sind a,b,c Zahlen und x die Unbekannte. Die linke Seite dieser Gleichung ist also ein beliebiges Polynom des Grades 2. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die x-Koordinaten der Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse in der x-y-Ebene. Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Form und Normalform 1.1 Beispiel 2 Lösungen der quadratischen Gleichung 2.1 Lösungsformeln 2.2 Anzahl der reellen Nullstellen 2.3 Numerische Berechnung 2.4 Beispiele 3 Herleitung der Lösungsformel 4 Lösung mit Zirkel und Lineal 5 Verallgemeinerung 6 Siehe auch 7 Weblinks Allgemeine Form und Normalform Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet . Durch geeignete Äquivalenzumformung lässt sich diese allgemeine Form in die Normalform einer quadratischen Gleichung überführen. Es werden alle Terme auf eine Seite gebracht, nach fallendem Exponenten geordnet und durch den Koeffizienten des quadratischen Terms, hier , dividiert. Es ergibt sich somit . Dabei heißen quadratisches Glied, lineares Glied und absolutes Glied der Gleichung. und können komplexe Zahlen sein. Beispiel Allgemeine Form: Allgemeine Form : In Normalform: Lösungen der quadratischen Gleichung Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede quadratische Gleichung zwei Lösungen, auch Wurzeln genannt. Die Lösungen sind im Allgemeinen komplexe Zahlen und nicht notwendigerweise reelle Zahlen. Wenn man sich auf die reellen Zahlen beschränkt, gibt es genau drei mögliche Fälle: Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen, es gibt eine Lösung, das heißt eine Zahl tritt zweimal als Lösung auf oder es gibt keine Lösung. Wenn man sich auf reelle Lösungen beschränkt, sind manche quadratischen Gleichungen somit nicht auflösbar. Es lassen sich immer zwei Lösungen finden, wenn die Betrachtungen auf die komplexen Zahlen ausgedehnt werden. Sind die Koeffizienten reelle Zahlen, dann sind entweder beide Wurzeln reell oder beide komplex. Lösungsformeln Zum Finden von Lösungen einer quadratischen Gleichung kann man die quadratische Ergänzung benutzen. Da die quadratische Gleichung stets die gleiche Struktur aufweist, bietet es sich an, eine allgemeinere Formel herzuleiten. Es ergeben sich zwei Lösungsformeln, die als abc-Formel und als p-q-Formel bekannt sind. In ihrer allgemeinen Form hat die quadratische Gleichung die Lösungen oder gleichwertig . Im normierten Fall, der sich durch Division beider Seiten der Gleichung durch a erreichen lässt, lauten die Lösungen nach der p-q-Formel . Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen: und das nicht normierte in Anzahl der reellen Nullstellen Lage der quadratischen Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der NullstellenDer Ausdruck unter der Wurzel bestimmt für eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie viele reellwertige Lösungen die Gleichung hat. Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Diskriminante. Man kann drei Fälle unterscheiden: D > 0: Die Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen x1 und x2, D = 0: Die Parabel hat einen Berührpunkt mit der x-Achse, es ist x1 = x2. Der Berührpunkt ist gleichzeitig auch ein Maximum und die quadratische Gleichung lässt sich auf die Form bringen.