Die Berechnung des Tangens ohne technische Hilfsmittel kann gigantisch scheinen. Insbesondere bei größeren Winkeln. Doch wie bei tan 150° funktioniert dies ebenfalls mit ein bisschen Mathe. Beginnen wir mit den Grundlagen des Tangens. Dieser wird definiert als das Verhältnis von Sinus und Kosinus: tan = sin/cos. Bei tan 150° setzen wir ein: tan 150° = sin 150° / cos 150°.
Hier kommt die Vorstellung des Einheitskreises ins Spiel. 150° lässt sich als 180° - 30° interpretieren. Dies ist entscheidend. Beim Sinus gilt: sin 150° = sin 30°. Diese Identität mag auf den ersten Blick trivial erscheinen. Nun, für den Kosinus gilt: cos 150° = -cos 30°. Warum negativ? Kosinus ist auf der x-Achse sowie positiv als auch negativ – abhängig von der Position im Einheitskreis!
Jetzt setzen wir die Werte ins Spiel: tan 150° = -sin 30° / cos 30°. Hierbei ist sin 30° = 0⸴5. Ein Wert – den die meisten ohnehin kennen. Und was ist mit cos 30°? Die Pythagoreische Identität sin² + cos² = 1 führt uns zu: cos 30° = √0,75 = √(3/4) = √3/2. Ja, das kann man sich einprägen!
Wenn wir nun wieder zurück ins Spiel kommen und alles zusammenrechnen, ergibt sich tan 150° = -0,5 / (√3/2). Nach einer kurzen Umformung erhalten wir -1/√3. Wer ein Schrumpfen der Zahlen zur Hand hat, könnte daran erinnern, dass √3 meist als etwa 1⸴7 angenommen wird. Solch eine Näherung bringt uns zur Division: 1 / 1⸴7 ist realistisch etwa 0⸴59. Eine kleine Rechnung die so aussieht: 10 : 17. Das entlockt uns das Ergebnis: -0,57.
Möchte man zusätzlich dazu in die Tiefe gehen, können wir die Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktionen nutzen. Eine besonders spannende Idee! Wenn wir uns beispielsweise in einem Bogen des Sinus oder Kosinus bewegen, können wir wieder 30° dazu rechnen oder abziehen. Das macht die Mathematik rundum interessant.
Was man jedoch auch bedenken sollte: In den meisten Prüfungen wird die Verwendung von Taschenrechnern heutzutage zugelassen. In den guten alten Zeiten gab es Tabellen mit vorab berechneten Werten. Glaubt man im Jahr 2023 jedoch noch, dass man ohne Taschenrechner gut dasteht? Ganz sicher.
Für die nächste Überlegung: Je weiterhin Werte man sich einprägt, desto weniger wird ein Taschenrechner notwendig! Hier ist eine Liste der Sinuswerte interessanter Winkel:
- sin 0° = 0
- sin 30° = 0⸴5
- sin 45°
0⸴707
- sin 60°
0⸴866
- sin 90° = 1
Aus solchen kleinen Formeln und Überlegungen kann das Ziel erreicht werden. Wer dies sieht, versteht: Mathematik ist nicht nur Zahlen und Ergebnisse. Es ist eine wunderbare Sprache ´ die uns hilft ` die Welt zu beschreiben. Der Tangens ist ein Werkzeug. Tan 150° kann man dadurch wunderbar ohne Taschenrechner berechnen – nur mit dem Verstand und etwas Übung.
Tangens ohne Taschenrechner: Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Berechnung von tan 150°
Wie lässt sich der Wert von tan 150° ohne Taschenrechner und Geodreieck ermitteln?