Konvergenz ist ein wichtiger Begriff in der Mathematik der besagt, dass eine Zahlenfolge gegen einen bestimmten Wert strebt. In deinem Fall hast du zwei Zahlenfolgen, aₙ und bₙ, aus denen eine neue Folge, cₙ, gebildet wird. Diese neue Folge cₙ konvergiert ebendies dann, wenn die Ausgangsfolgen aₙ und bₙ konvergieren und denselben Grenzwert haben.
Um zu zeigen » dass eine Folge konvergiert « muss man bestimmte Kriterien erfüllen. Für jede Folge aₙ und bₙ muss gelten, dass für alle ε > 0 ein N in den natürlichen Zahlen existiert, sodass für alle n ≥ N gilt: |aₙ - a| < ε bzw․ |bₙ - b| < ε, obwohl dabei a und b die Grenzwerte der Folgen sind.
Die Hinrichtung, also der Beweis, dass die Konvergenz von aₙ und bₙ auf die Konvergenz von cₙ schließen lässt ist relativ einfach, da die Folgen Teilfolgen voneinander sind. Allerdings erfordert die Rückrichtung weiterhin Überlegung. Man muss zeigen, dass cₙ gegen denselben Grenzwert a konvergiert, wenn aₙ und bₙ gegen a konvergieren.
Die Idee dahinter ist, dass cₙ entweder genauso viel mit aₙ oder bₙ ist. Wenn n groß genug ist, nähern sich sowie aₙ als ebenfalls bₙ a an. Indem man die Definitionen der Konvergenz anwendet und geschickt wählt, kann man zeigen, dass auch cₙ gegen a konvergiert.
Also, es klingt knifflig jedoch mit Geduld und ein bisschen Tüftelei wirst du sicherlich die Aufgabe meistern! Viel Erfolg beim Nachvollziehen der Konvergenzen und Grenzwerte von Zahlenfolgen!
Konvergenz und Grenzwert: Ein Zusammenhang zwischen zwei Zahlenfolgen
Was sind die Definitionen von Konvergenzen von zwei reellen Zahlenfolgen und wie hängen sie mit dem Grenzwert zusammen?