Was ist e funktion

Was ist eine e-Funktion?

Ich find es zwar schön, dass ich so schnell eine Antwort erhalte, aber ich bin in der achten Klasse. Darum fände ich es toll, wenn es mir jemand einfacher erklären würde.

Exponentialfunktionen mit der eulerschen ZAhl e als basis werden kurz e-Funktion gennannt.
Die Funktion verläuft nicht geradling sondern in form einer Kurve an.
Viele in der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse lassen sich durch die Exponentialfunktion f = ae^kx beschreiben.
Bsp.: Eine Bakterienkultur wächst nach der Funktion N = N0e^kt, wobei t die Zeit, N der Bestand an Bakterien zur Zeit t, N0 der Anfangsbestand für t=0 und k eine für die Bakterienart typische Konstante ist.
Für N0 = 100 und k 0 0,1 erhält man die Wachstumsfunktion N' = 100e^0,1t = 0,1N.
Die wachstumsgeschwindigkeit N' ist also abhängig vom jeweiligen Bestand der Bakterien, es gilt N' ist rund N.
gibt noch viele andere, aber das lernst du alles später in der Schule wenn ihr Differenzialrechnung macht.

Um die e-Funktion als Exponentialfunktion besser zu erläutern, grenze ich sie im Folgenden gegenüber den Potenz- und Logarithmusfunktionen ab.
Im Ausdruck a hoch b bezeichnet man b als den Exponenten der Basis a.
Ist b die Veränderliche x, dann hat man die Exponentialfunktion y = a^x.
Zum Vergleich: Ist die Variable x die Basis und b der Exponent, dann hat man eine Potenzfunktion
y = x^b.
Mathematisch sind Exponentialfunktionen deswegen interessant, weil ihre Ableitungen, wie jeder leicht durch Bildung des grafischen Differentials ∆y/∆x feststellen kann, ähnliche Funktionen ergeben von der Form
y'= c * y
= c * Untersucht man die Konstante c genauer, dann stellt man fest, dass es sich hierbei um den natürlichen Logarithmus von a handelt, also c = ln.
Ein Logarithmus c hat allgemein die Form: hochgestellt))log a = c , wobei b die Basis des Logarithmus ist und a der Numerus oder Logarithmand.
In Exponetialschreibweise ist der Zusammenhang a = b^c.
Ist a die Veränderliche x, dann ist log x eine logarithmische Funktion, die Umkehrung einer Exponentialfunktion.
Beim dekadischen Logarithmus ist die Basis die Zahl 10, beim natürlichen Logarithmus die Zahl e.
Allgemein hat die 1. Ableitung der Funktion a^x den Wert
y' = ln*.
Der Logarithmus der Basis ist immer 1. In dem Spezialfall, dass a den Wert e hat, ist wegen ln = 1 die erste Ableitung von e^x ebenfalls e^x.
Wie nothingtolose91 bereits schrieb ist die e-Funktion also die Funktion, deren Ableitungen sie selber ist.

eine e-funktion ist eine exponentialfunktion mit der gleichung f=e^x. dabei ist e die eulersche zahl. die funktion hat die eigenschaft, mit ihrer ableitung identisch zu sein.

Die! Exponentialfunktion, Eulersche Zahl; Was ist das für eine Gerade bei der Funktion y = e^x?

Für die Exponentialfunktionen ist die jeweilige Gerade die Tangente im Punkt.
y = m*x + 1
Für x = 0 gilt: 1 = m*0 + 1
m ist die Steigung und gleichbedeutend damit ist m auch der Tangens des Steigungswinkels.
m = tan = 1 Steigungswinkel = 45°
==> Geradengleichung: y = x

Die Geraden sind die Tangenten an 2^x und 3^x im Punkt.
Bei 2^x ist der Steigungswinkel dieser Tangente etwas kleiner als 45°,
bei 3^x etwas größer. Zwischen 2 und 3 muss es also eine Zahl e geben,
bei der die Tangente an e^x genau den Steigungswinkel 45° hat. Diese
Zahl nennt man Eulersche Zahl e und die Tangente hat die Gleichung
y = x+1.
Für x-Werte um 0, z.B.: x = 0,001 haben y=e^x und die Tangente y=x+1
fast den gleichen Wert, also e^0,001 ~ 1 + 0,001 = 1,001.
Damit ist e = e^1 = e^1000/1000 = ^1000 ~ 1,001^1000 ~ 2,717.