Exponentialfunktion eulersche zahl was ist gerade funktion y e x
Ich habe mir ein Lehrvideo auf Youtube über die Eulersche Zahl angeguckt. Es war auch die Rede davon, wie man sie ungefähr ermitteln kann.
Dafür wurden die Funktionen y = 2^x und y = 3^x graphisch dargestellt, eine Gerade gezeichnet und die Winkel gemessen.
Bei e soll dieser Winkel dann genau 45° sein.
Was sind das genau für Geraden, damit das funktioniert?
Bei y = e^x laut Video y = x+1. Und bei y = 2^x bzw. y=3^x?
Wer kann mir das erklären?
und
von niggoo
Ach so: Der Link zum Video 13 Eulersche Zahl, Teil 1 - YouTube
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Die! Exponentialfunktion, Eulersche Zahl; Was ist das für eine Gerade bei der Funktion y = e^x?
Für die Exponentialfunktionen ist die jeweilige Gerade die Tangente im Punkt.
y = m*x + 1
Für x = 0 gilt: 1 = m*0 + 1
m ist die Steigung und gleichbedeutend damit ist m auch der Tangens des Steigungswinkels.
m = tan = 1 Steigungswinkel = 45°
==> Geradengleichung: y = x
Die Geraden sind die Tangenten an 2^x und 3^x im Punkt.
Bei 2^x ist der Steigungswinkel dieser Tangente etwas kleiner als 45°,
bei 3^x etwas größer. Zwischen 2 und 3 muss es also eine Zahl e geben,
bei der die Tangente an e^x genau den Steigungswinkel 45° hat. Diese
Zahl nennt man Eulersche Zahl e und die Tangente hat die Gleichung
y = x+1.
Für x-Werte um 0, z.B.: x = 0,001 haben y=e^x und die Tangente y=x+1
fast den gleichen Wert, also e^0,001 ~ 1 + 0,001 = 1,001.
Damit ist e = e^1 = e^1000/1000 = ^1000 ~ 1,001^1000 ~ 2,717.