Beweise gegen unendliche anzahl primzahlen

Gibt es Beweise für oder gegen die Unendliche Anzahl von Primzahlen?

Der dirichletsche Primzahlsatz ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie, der besagt, dass eine arithmetische Folge unendlich viele Primzahlen enthält, wenn dies nicht aus trivialen Gründen unmöglich ist.
Dirichletscher Primzahlsatz – Wikipedia

Nein, bisher nicht, soweit ich weiss. Einen gegenbeweis auf keinen Fall, ich wuesste auch von keinem Beweis.
Man kann aber einige Ueberlegungen anstellen, die nahelegen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Nehmen wir an, das p eine Primzahl ist. Alle Zahlen n*p, wobei n eine beliebige Natuerliche Zahl groesser als 1 ist, sind keine Primzahlen.
Aus der Menge der natuerlichen Zahlen werden auf diese Art und weise nicht-primzahlen "ausgestanzt". Nun nimmt man die naechst groessere Zahl als p, die noch nicht 'ausgestanzt' ist. Wir nennen sie q. Wieder gilt, dass alle Zahlen n*q mit n>1 keine Primzahlen sind und 'ausgestanzt' werden koennen.
So macht man immer weiter.
Da immer mehr 'loecher' in die Menge der natuerlichen Zahlen gerissen werden, wird der Abstand zwischen zwei Primzahlen immer groesser. Da aber die natuerlichen Zahlen unendlich sind, wird man nie den Fall haben, dass zwei Kandidaten unendlich weit voneinander entfernt liegen. Deshalb kann man annehmen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
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Veranscheulichung zum Beispiel: Austanzen der 'nicht-Primzahlen aus der Menge der natuerlichen Zahlen von 2 bis 30
Anfang:
2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;1 3;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26; 27;28;29;30
1. Primzahl: 2: alle Vielfache von 2 werden entfernt:
;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21; 23;25;27;29
2. Primzahl: 3: alle Vielfache von 3 werden entfernt:
;5;7;11;13;17;19;23;25; 29
3. Primzahl: 5: alle Vielfache von 5 werden entfern:
;7;11;13;17;19;23;29
4. Primzahl: 7: alle Vielfache von 7 werden entfern:
;11;13;17;19;23; 29
Wie man sieht werden die Kandidaten immer weniger, aber man wird wohl immer Zahlen finden, die noch keine Vielfache einer Primzahl sind.

Das erste ist die Tatsache, dass jede positive natürliche Zahl n sich bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen lässt, d.h. es gibt Primzahlen
p1,. , pr und natürliche Zahlen α1,. , αr derart, dass die Gleichheit
n = p1 hoch α1 ·. · pr hoch αr
besteht. Dies ist der Inhalt des sogenannten Fundamentalsatzes der Zahlentheorie, dermit anderen Worten besagt, dass die Primzahlen die multiplikativen Bausteine der natürlichen Zahlen sind.
Als zweites erinnern wir an den Satz von Euklid, dass es nämlich unendlich viele Primzahlen gibt. Dies sieht man leicht wie folgt ein: Man nimmt im Gegenteil zur Behauptung an, dass es nur endlich viele Primzahlen p1,. , pN gibt. Damit bildet man die Zahl
m = p1 ·. · pN + 1.
Nun besitzt die natürliche Zahl m einerseits mindestens einen Primteiler q. Da die Zahl m andererseits bei Division durch jede der Primzahlen p1,. , pN den Rest 1 lässt, muss
q ungleich pj gelten. Das heißt, es gibt unendlich große Primzahlen.
Die gegenwärtig größte bekannte Primzahl der Form p = 2 hoch n − 1, eine sogenannte Mersennesche Primzahl, lautet
p = 2 hoch 13 466 917 − 1 ;
sie hat mehr als 4 Mio. Stellen. Würde man alle Stellen ausdrucken, so
wären bei der hier gewählten Schriftgröße mehr als 1000 A4-Seiten notwendig.
http://www.math.hu-berlin.de/~kramer/Riemann.pdf

Naja - wenn doch die Zahlen bis ins Unendliche gehen, dann muß es doch auch unendlich viele Primzahlen geben, oder nicht?
Ich meine, ein Tausendstel mal unendlich ist ja immer noch unendlich