Basiswechselmatrix bestimmen
ich habe zwar keine konkrete Aufgabe, die es zu lösen gilt, aber mich würde interessieren, wie man vorzugehen hat, um einen Basiswechsel durchzuführen.
man könnte es am folgenden Bsp. erklären:
Es sei f eine lineare Abbildung mit der Matrix A = bezüglich der Standardbasis des R³. Man berechne die Matrix M für die Basis B ={, ,}.
Was muss dabei gerechnet werden? Wie kommt man auf das Ergebnis?
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Basiswechselmatrix bestimmen
Der Vektor der Standardbasis soll in der Basis B dargestellt werden.
Also ist:
2a+ b+2c=1
a+2b+2c=0
2a+2b+3c=0
und damit a=2 b=1 c=-2.
Der Wert jeder x-Koordinate in der SB entspricht der Anzahl der Vektoren , die gebraucht werden, um auf die x-Koordinate zu kommen.
Bsp: =5*
Der Wert jeder x-Koordinate in der Basis B entspricht der Anzahl der Vektoren , die gebraucht werden, um auf die x-Koordinate zu kommen.
Bsp: =5*=
Für die y- und z-Koordinate wird nochmal ein Gleichungssystem aufgestellt.
Y: a=1 b=2 c=-2
Z: a=-2 b=-2 c=3
Daraus ergibt sich die Matrix B=.
Diese Matrix wandelt jeden Punkt von SB in die Basis B um.
Die Matrix M ist einfach A*B.
Die Matrix A beschreibt nur eine Lineare Abbildung. Die Matrix B beschreibt die Transformation von der Standardbasis zur Basis B. Die Matrix A wird erst am Ende durch die Matrix B in die Matrix M transformiert.
Siehe letzte Zeile:
"Die Matrix M ist einfach A*B.