Wofür komplexe zahlen

Wofür gibt es komplexe Zahlen?

Die Komplexen Zahlen entstehen als Fortsetzung der Reellen Zahlen.
Man hat Zahlenbereiche immer wieder erweitert: Die Natürlichen Zahlen zu den Ganzen Zahlen , die Ganzen zu den Rationalen Zahlen fast, die Rationalen Zahlen zu den Reellen , und schließlich die Reellen zu den Komplexen, damit alle Polynome Nullstellen haben.
Diese letzte Erweiterung nennt man den "algebraischen Abschluss" der Reellen Zahlen.

Natürlich gibt es noch mehr imaginäre Zahlen außer i: Alle Vielfachen von i sind ebenfalls imaginär.

i² nicht, das ist -1.
Sondern alle Produkte einer reellen Zahl mit i sind imaginär, also 0,5*i, 2*i, pi*i, -100 Mio * i.

damit die lehrer uns noch mehr quälen können in der SChule

Die komplexen Zahlen sind fuer zahlreiche Naturwissenschaften unglaublich wichtig. E-Technik Studenten muessen z.B. sehr gut mit dieser Menge umgehen koennen.
Um Sique in zwei Punkten zu ergaenzen:
Durch die komplexen Zahlen haben nicht nur alle Polynome Nullstellen, sondern ein Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen, wenn komplexe Nullstellen betrachtet werden.
Außerdem ist *eigentlich* auch i² eine komplexe Zahl, nur ist der Imaginärteil 0.

Dass ein Polynom n-ten Grades im Bereich der Komplexen Zahlen n Nullstellen hat, folgt direkt daraus, dass es mindestens eine Nullstelle hat. Denn sei x0 eine Nullstelle des Polynoms p vom Grad n, dann kann ich das Polynom p schreiben als *p'. Damit habe ich ein zweites Polynom p', welches vom Grad n-1 ist, und dieses hat ebenfalls eine Nullstelle x1, wodurch ich dann p = *p'' bekomme usw. usf.