Was ist durchschnittliche entfernung zwischen zwei zufälligen punkten würfel kantenlänge 1

Was ist die durchschnittliche Entfernung zwischen zwei zufälligen Punkten in einem Würfel mit der Kantenlänge 1?

Ich habe gefunden, dass man diesen Term ausrechnen muss. Aber wie kommt man darauf und wie löst man dieses Dreifachintegral?

Um das zu lösen, würde ich zunächst einmal die Überlegung anstellen, wie das eindimensionale Problem zu lösen ist. Also was ist der mittlere Abstand zweier zufälliger Punkte auf einer Strecke mit der Länge 1?
Vielleicht: Integral_0^1 1-x dx = 1/3
Eine ähnliche Frage wird hier behandelt:
Durchschnittliche Entfernung zwischen n Punkten in einem Kreis

Lösung des 3-fach-Integrals: www.wolframalpha.com/input/?i=integral_0^ 1integral_0^1integral_0^11-xdxdydz

Ja , ich sollte mich wirklich erstmal mit einer einfacheren Version der Frage beschäftigen.
Zu der Lösung des 3-Fach-Integrals: Ich hatte genau das gleiche eingegeben, um das Bild von meiner Frage zu bekommen.
Ich würde lieber wissen, wie man schrittweise den Integralterm umformt, bis man kein Integralzeichen mehr braucht.

Ojeh, das habe ich vor ungefähr 40 Jahren zum letzten Mal gemacht. Aber ich denke, dass man das Schritt für Schritt macht. Erst integriert man die "X-Terme" nach dx und betrachtet die übrigen als konstant. Dann das gleiche nochmal nach dy und x- und z-Terme kostant und zum Schluss dasselbe mit der Variable z. Du kannst das ja mal bei Wolframalpha überprüfen.

Das wird hier nicht gut funktionieren. Stattdessen benutzt man den Transformationssatz. Man substituiert Polarkordinaten oder Kugelkoordinaten.
Dadurch vereinfachen sich die Integrale.
Wenn das deine ersten Berührpunkte mit Integration im |R^n sind: Fang kleiner an.

Wie man darauf kommt, ist im Video doch super erklärt:
Für gleichverteilte x1, x2 auf ist x2-x1 symmetrisch Dreiecksverteilt. p.d.f im Video steht für probability density function.
D er Betrag hingegegen ist auch Dreiecksverteilt, aber die Fläche auf der negativen Seite wird anschaulich gespiegelt und auf die positive Seite addiert. Daher die Dichtefunktion 2.
Du hast bereits das Problem korrekt in den 3-dim. Raum erweitert. Hier kannst du allerdings keine Polarkoordinaten nutzen, sondern müsstest Kugelkoordinaten anwenden. Das verläuft im wesentlichen analog, die Berechnung wird aber um einiges länger.
Dieses Integral kannst du dir aber auch von einem CAS berechnen lassen.

Hallo, als da wären: 12 Kanten a 1 m. 6 Flächen a 1 m^2, 12 Flächendiagonalen a 1,414 m, 4 Raumdiagonalen a 1,732 m, Rauminhalt von 1m^3. Da die beiden Punkte eines Abstandes sowohl von Außen als auch innerhalb des Würfels vorliegen können, kann ein staistischer Mittelwert des zufälligen Punkteabstandes nicht gegeben werden. Nur die Aussage: eine beliebige Strecke in einem Würfel muß zwischen maximal: Länge Raumdiagonale und minimal: >0 liegen. mfgo

Man kann den Mittelwert angeben und er beträgt ca. 0,661707.
Man rechnet dafür den Term auf dem Bild aus, das ich für meine Frage hinzugefügt habe. Ich frage mich nur, wie man darauf kommt.

Hallo, überlege doch mal selbst: die Punkte können innerhalb des Würfels als auch auf Oberfläche oder auf Schnitten durch Obefläche als auch auf Kanten, Flächen liegen. Wo soll da eine Häufung sein? Was wäre bspw. bei der Erde liegen? Strecken können sowohl aufOberfläche liegen, als auch von Oberfläche beliebig weit in die Kugel hineinragen als auch nur innerhalb der Kugel liegen. Oder Du hast ein wichtiges Indiz zur Statistik vergessen? mfgo

Wo liegt das Problem?
Die Punktverteilung wird als gleichmäßig angesehen,d.h. jeder Punkt im Würfel ist gleich wahrscheinlich.
Es werden 2 Punkte ermittelt und diese in Relation zueinander gesetzt.
Im Grunde nichts anders als 2 Würfel werfen, addieren und zu dem Schluss kommen, dass 7 am häufigsten raus kommt - nur etwas komplizierter halt.

Guck dir mal dieses Video an:
VERY HARD Puzzle: What Is The Distance Between Two Random Points In A Square? - YouTube
Meine Frage bezieht sich auf die Erweiterung von einem Quadrat auf einen Würfel.

Mir für heute Abend zu hoch. Anscheinend wird im Video bspw. ein mm Raster ausgelegt, so daß eine Fläche von 1 Quadrate aufweist. Die sind endlich. Und deren Flächen, Kanten, Diagonalen auch. Auf einen Würfel hochgerechnet wären das entsprechend: 1000 Quadrate x 1000 = 1000 x 1000 x 1000 = 1 Milliarde Würfelchen. Und Kommastellen werden außen vorgelassen. Da sind dann jede Menge gleiche Abstände. Aber die Berechnung ist mir heute zuviel. Verstehe aber, wie der Gedankengag geht. mfgo

The Third Bardo- I Can Understand Your Problem - YouTube

ich hätte jetzt gesagt 0,5 * Wurzel = 0.707.

Nein, die Lösung ist ca. 0,661707. Wenn man den Term auf dem Bild ausrechnet, kommt das raus. Ich frage mich, wie man darauf kommt.