Wachstumsprozess
hi, wir haben folgendes auf und ich kann das leider nicht alleine lösen, weil ich auf keinen ansatz komme. kann mir das jemand erklären?
"ein stück butter wird in einen Kühlschrank gebracht. man kann davon ausgehen, dass die temperaturabnahme pro minute 12% der differenz zwischen der temperatur der butter und der kühlschranktemperatur beträgt.
bestimme nach wie viel minuten die butter eine temp. von 20°C erreicht hat.
ein topf margarine wird zur gleichen zeit in den kühlschrank gestellt und zeigt die gleiche temperaturabnahme. untersuche, ob die butter zu einem zeitpunkt kälter sein wird als die margarine"
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Wachstumsprozess
Ansatz:
Temperaturänderung pro Zeit: dT/dt
Dabei wird T in °C gemessen und t in Minuten. Ich rechne jetzt aber ohne Einheiten, sonst müsste ich überall T/°C und t/min schreiben.
Diese beträgt 12% von der aktuellen Temperaturdifferenz zwischen Butter und Kühlschrank. Und sie ist negativ.
Also:
dT/dt = -0,12*
umformen, um T und t zu trennen:
dT/ = -0,12*dt
Integrieren von 0 bis t auf der rechten Seite. Auf der linken Seite lauten die Integralgrenzen dann T und T. T ist die Anfangstemperatur der Butter. 1/ integriert gibt den natürlichen Logarithmus vom Betrag von. Da T>5,5 ist, kann man den Betrag weglassen.
T-5,5
lnt - ln0 = -0,12*t
lnt = -0,12*t + ln0
Jetzt e hoch die Gleichung nehmen, um den ln verschwinden zu lassen:
T-5,5 = e^ * 0
T = 5,5 + 0*e^
Für die Butter:
T = 5,5 + 19*e^
Wann hat die Butter 20°C? Da können wir gleich in einsetzen:
ln - ln = -0,12*t
t = -0,12*ln = 0,0324
Also hat die Butter nach 0,0324 Minuten = knapp 2 Sekunden 20°C erreicht.
Die Butter wird zu keinem Zeitpunkt kälter sein als die Margerine, weil sich zwei e-Funktionen mit der gleichen Zeitkonstante nicht schneiden.
Moment, da ist noch irgendwo ein Rechenfehler drin. Muss mehr als 1 Minute dauern.
Der Rechenweg stimmt, ich hab wohl nur den Taschenrechner nicht bedienen können
t = -0,12*ln = 2,25
Die Butter hat nach 2,25 Minuten die Temperatur 20°C erreicht.
Dein großes Problem dabei ist, dass es sich immer auf den Temeperaturunterschied bezieht und das ganze daher rekursiv ist. Da gibt es in der 11. Klasse Mathe ein Thema namens Folgen und Reihen, guck dir das mal an. Hab jetzt gerade nicht genug Zeit dir das alles zu erklären.
Mathe: Wachstumsprozess
sie verdoppeln sich, werden also zu 200%, wachsen um 100%
d.h. Wachstumsfaktor = 2
1,02 würde bedeuten, sie wachen täglich um
Als Durchmesser nehme ich jetzt einfach mal 3.
Die verdoppeln sich täglich d.h
0 Tage = 3mm
1 Tag = 6mm
f = a*b^t
a = Anfangswert = 3
b = Wachstumsfaktor = 6/3
Wird das in der Schule SO gemacht? *graus*
Selbst wenn -
"0 Tage = 3mm"
ist grober Unfug, schreibe
0 Tage -> 3mm
oder sowas.