Vereinfachter beweis fermat
Könnt ihr mir bitte den Beweis für die "Große fermatscher Satz " für n=3,n=4,n=7 oder andere geben.
Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr wenigstens einer der n für mich beweisen könntet.
8−)
P.S. Link: de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fer_fermats cher_Satz
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Vereinfachter Beweis von Fermat?
Naja für n=4 ists relativ kurz.
Die komplizierteren Fälle sind eher was für nen Tag in der Bibliothek als für Cosmiq
Schauen wir uns also n=4 an. Zunächst zeigen wir einen Hilfssatz, der Rest ist geschenkt.
Lemma: Es gibt keine ganzzahlige Lösung mit x^4+y^4=z², außer wenn xyz=0.
Beweis:
Betrachte eine ganzzahlige Lösung von ²+²=z²
OE können wir annehmen: x²,y²,z sind teilerfremd, sonst dividieren wir den gemeinsamen Teiler heraus.
Wir haben also ein pythagoräisches Tripel mit teilerfremdem x,y.
Dafür ist eine genaue Darstellung bekannt:
Es existieren natürliche Zahlen u und v, u>v mit
x²=u²-v²
y²=2uv
z=u²+v²
x²+v²=u ² ist also ein weiteres pythagoräisches Tripel
Es existieren natürliche Zahlen p und q, p>q mit
v=2pq
x=p²-q²
u=p²+q²
p und q sind teilerfremd!
Also:
y²=2uv=2=4pq
Teilerfremde Teiler einer Quadratzahl müssen selbst eine Quadratzahl sein, also auch
Es gibt eine natürlich Zahl m mit
m²=p²+q²
Also wieder ein pythagoräisches Tripel.
Ferner gilt:
m²=p²+q² = u < u²+v² = z
Wir erhalten also durch Iteration immer wieder kleinere pythagoräische Tripel, was offensichtlich unmöglich ist.
Möglich ist nur der Fall xyz=0, dann funktioniert unser "unendlich langer Abstieg" nämlich nicht.
Ich hab die Folgerung die wir eigentlich suchen noch gar nicht hingeschrieben, aber ich denke es ist sowieso jetzt ziemlich klar.
Trotzdem hole ich das jetzt nach:
Satz:
Es gibt keine ganzzahlige Lösung mit x^4+y^4=z^4, außer wenn xyz=0
Beweis:
Verwende den Hilfssatz mit x^4+y^4=²
Nicht dass ich den Beweis verstehen würde, aber er ist sicher nicht wesentlich einfacher wenn man nur den Fall n=3 betrachtet als für allgemeine n.
Und ob!
Für n=3 gab es schon lange vor Wiles einen Beweis.
Wobei n=3 schon wesentlich aufwändiger ist als der gegebene Beweis für n=4.
Für n=4 wurde übrigens auch schon ein Beweis in den Schriften von Fermat gefunden, allerdings erst nach seinem Tod. Das war aber ein anderer als der den ich geführt habe, er war auch wesentlich komplizierter und länger.