Vektoraddition 3 vektoren
Also 2 Vektoren kann ich ja über den Cosinussatz addieren.
weiterhin gilt ja mathematisch:
a + b + c = + c = a + = b + Kann ich dann also bei der Addition der Vektoren
a, b und c erst den resultierenden Vektor aus 2 der 3 Vektoren bilden und diesen dann mit dem 3. Vektor zu einem resultierenden Vektor addieren und ist dieser dann der resultierende Vektor aus a b und c?
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Vektoraddition mit 3 Vektoren
Du kannst die Vektoren komponentenweise addieren. Das ergibt für jede Komponente eine Addition in IR. Diese ist bekannterweise auch kommutativ.
In dem Falle ist es aber das Assoziativgesetz
Nein, assoziativ ist das:
a + b + c = + c = a + Damit hätte man ja nur zwei Möglichkeiten.
Kommutativ ergibt sich die völlige Freiheit in der Reihenfolge.
Das ist eines der Vektorraumaxiome:
Ein Vektorraum ist ein Tripel bestehend aus einer Menge V, einer Additionsverknüpfung und einer skalaren Multiplikationsverknüpfung, so dass V mit der Addition eine Abelsche Gruppe bildet,.
Eine Abelsche Gruppe ist eine Gruppe in der die Verknüpfung assoziativ und kommutativ ist.
Der Kosinussatz vergiss mal, den braucht man so selten dass es zweckmäßiger ist ihn sich bei den seltenen Gelegenheiten jedesmal schnell neu herzuleiten.
brauch ich den Cosinussatz denn nicht, wenn ich z.B. 3 Vektoren nur vom Betrag und der Richtung her kenne und den Betrag und Richtung des resultierenden Vektors ermitteln will?"
Also erstmal - so einfach funktioniert das sowieso nur in zwei Dimensionen, in den meisten "echten" Problemen hat man aber Vektoren im ℝ³. Im ℝ² geht es aber noch viel einfacher als mit dem Kosinussatz, wenn man komplexe Zahlen einsetzt: jeder Vektor im ℝ² x= lässt sich auch als komplexe Zahl
ξ := x₁ + ix₂
darstellen. Wenn x nun in Polarkoordinaten angegeben ist, müsste man die kartesische Darstellung umständlich berechnen als
x = φφ)).
In ℂ geht das viel einfacher:
ξ = r*eⁱᵠ
Hübsch, nicht wahr?
Wenn man also zwei Vektoren ξ₁, ξ₂ in Polarkoordinaten , angegeben hat und möchte die Summe haben, rechnet man einfach
ξ₁ + ξ₂ = r₁*e^iφ₁ + r₂*e^iφ₂
fertig.
Na gut, wenn man das Ergebnis jetzt auch wieder in Polarkoordinaten braucht -
r₊ = |ξ₁ + ξ₂|
φ₊ = arg
Gibt dir jedes CAS und jeder Komplex-Zahlen-fähige Taschenrechner direkt aus.
Insbesondere wenn man mehrere Vektoren addiert ist es sehr zu empfehlen sie alle in kartesische Koordinaten umzurechnen, darin zu addieren und erst ganz am Schluss das Ergebnis wieder in Polarkoordinaten umzurechnen falls nötig.
Naja, brauch ich den Cosinussatz denn nicht, wenn ich z.B. 3 Vektoren nur vom Betrag und der Richtung her kenne und den Betrag und Richtung des resultierenden Vektors ermitteln will? Oder würdest du das auf einen anderen Weg machen?