Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

x/
Erstmal muss man das Nennerpolynom faktorisieren, da es den Grad 3 hat, muss man entweder eine Nullstelle erraten und dann Polynomdivision anwenden oder alternativ die sehr viel schwierigere Formel von Cardano verwenden , ich rate hier mal eine:
p = x³-x²-5x-3
p = -8
p = -9
p = 0
Durch Polynomdivision kann ich das Polynom teilweise faktorisieren:
: = x²+2x+1
-
---
-
--
x-3
-
--
0
also:
x³-x²-5x-3 =
Jetzt können wir mit p-q-Formel die restlichen Nullstellen bestimmen:
x²+2x+1 = 0
x = -1 +- Wurzel
x = -1
also:
x³-x²-5x-3 =
nun können setzen wir einfach die Ausgangsfunktion gleich der Partialbruchzerlegung und bestimmen dann die Variablen:
x/ = A/ + B/
x = A + B
x = A + B
x = Ax²+2Ax+A+Bx²-2Bx-3B
x²+x+A- 3B = x
nun kann man A und B über den Koeffizientenvergleich berechnen, auf der rechten Seite steht kein x² also steht da quasi x²*0 daher gilt:
A+B = 0
ausserdem steht auf der rechten Seite einmal x, also gilt:
2A-2B = 1
A+B = 0
2A = 2B+1
A = B+1/2
B+1/2 + B = 0
2B+1/2 = 0
B = -1/4
A = B+1/2
A = 1/4
also:
x/ = / - / = 1/4 - 1/4

Stimmt leider nicht, bei x = -1 ist eine doppelte Nullstelle und da sieht der Ansatz für die Partialbruchzerlegung anders aus.
Siehe Wikipedia, oder hier ist ein Tool, das die Partialbruchzerlegung online ermittelt und auch die Zwischenschritte ausgibt:
step-by-step partial fractions
Ist evtl. etwas verwirrend, weil das Gleichungssystem über Matrizenrechnung gelöst wird, das ginge natürlich auch anders.

Nicht sehr hilfreich. Ich versuch das seit 2 Tagen. Das sind ne Menge Sekunden

Partialbruchzerlegung – Wikipedia
Wenn Du ne konkrete Frage hast kannst Du gerne noch mal Fragen. In diesem Fall muss ich mich entschuldigen, ich habe nämlich Partialbruchzerlegung und Polynomdivision durcheinander geworfen. Ist schon ein paar Tage her bei mir.

Als erstes mal die Nullstellen des Nenners ermitteln.
Das ist bei einem Polynom 3. Grades im allgemeinen nicht so einfach, aber meistens sind die Aufgaben so gewählt, dass sich eine der Nullstellen durch Ausprobieren ermitteln läßt. So auch hier.
Wenn Du eine Nullstelle des Nenners rausbekommen hast, erhältst Du durch Polynomdivision ein Polynom 2. Grades, mit dem Du die beiden weiteren Nullstellen mit Hilfe der üblichen Formel ermitteln kannst.
Abhängig von der Art der Nullstellen stellt man einen Lösungsansatz auf, der Konstanten enthält -> Formeln siehe Wikipedia. Die Konstanten werden dann z. B. ermittelt, indem man den Lösungsansatz wieder auf einen Nenner bringt, und einen Koeffizientenvergleich durchführt.

Partialbruchzerlegung

Du hast fast ganz richtig gerechnet, aber vergessen, dass
2x²+5x-12 = 2* ist.

Mit dem Ansatz a/ + b/ = / kommst Du auf das richtige Ergebnis.

asooo okay
und ist das ein schwerer rechenfehler, oder eher eine kleinigkeit die man übersehen hat?

Kleiner Fehler, Du hast ja nur die '2' übersehen; bei einer Schulaufgabe maximal 1 Punkt Abzug.

Hör mal. Ich bin nämlich ein Genie. Aber keiner von euch will die Nutzanwendung daraus ziehen; Teilbruchzerlegung machst du nicht mit gekoppelter linearer Unbekannter. Meiner Wenigkeit blieb nämlich die Entdeckung vor behalten, dass das Problem separiert. Euren Paukern macht mal Feuer unterm Aasch; für was schreib ich mir eigentlich die Finger fusselig? Sagt denen mal, ihr wollt wissen, was ===> Residuen sind und wie die ==> Cauchysche Integralformel geht.
Einmal ganz ab gesehen von einem ganz dicken Knollen. Hast du zufällig gelernt, dass man die Kurvendiskussion nicht mit der Quotientenregel macht, sondern mit TZ? Wirste gleich sehen, warum.
y = h := f / g
f := 3x - 10
g := 2 x ² + 5 x - 12
g1 = x ² + 5/2 x - 6
Gleich bei der Berechnung der Polstellen des Nennerpolynoms möchte ich dich mit meinem genialen Freund Ribek bekannt machen. Wir haben doch ganz typisch die Alternative: Entweder ist prim; oder es zerfällt in zwei rationale Linearfaktoren
x1;2 := p1;2 / q1;2
Warum ist so wichtig? Weil Ribek die Zerlegung an gegeben hat
p1 p2 = a0 =
q1 q2 = a2 = 2
Wir erwarten eine GANZ-so wie eine HALBZAHLIGE Lösung; hat dir auch noch keiner gesagt; was? Um aber mit argumentieren zu können, müssen wir erst mal dem Eisensteintest unterziehen - testet schon mal Eisenstein negativ; freuen wir uns.
Die Mitternachtsformel in Ehren; aber Raten geht hier fast schneller. An halbzahligen Kandidaten haben wir ja nur vier Stück:
Testkriterium auf ist Vieta, wobei Vieta q automatisch von Ribek mit erschlagen wird
x1 = ; x2 = 3/2
So; und wegen der Residuen kommt hier ein Steilkurs in ==> Funktionentheorie Sowas macht man häufig an der Uni; wenn der Prof etwas braucht, führt er es in zwei Zeilen ohne Beweis ein.
Die FT beschäftigt sich mit Funktionen, die diffbar sind auf der komplexen Ebene
w : |C ==> |C
z ===> w
F := w /
besitzt einen einfachen Pol in z0 - zu Mindest dann, wenn w 0 , was im Folgenden still schweigend voraus gesetzt sei. w nennen wir den Integralkern von F
Wir betrachten jetzt eine geschlossene Kurve Als Residuum von F bezeichnen wir das Integral von F , genommen einmal ringsrum um 360 °
Res F |z0 := 1/ 2 * Pi * i INTEGRAL F dz
Die genaue Def dieses Integrals braucht uns nicht kümmern; Viele werden sich daran erinnern, dass ein analoges Integral im elektrischen Feld Null ergibt. Die CI sagt nun effektiv aus, dass auch dieses Residuum verschwindet, sofern die Singularität außerhalb des Kreises fällt. Liegt sie innerhalb
Res F | z0 = w
In Worten: Das residuum ist gleich dem Funktionswert des Integralkerns an der Polstelle.
Und jetzt die Nutzanwendung für die TZ.
/ 2
= A / + B /
Legen wir z.B. einen Kreis um x1, dessen Radius aber so eng sein möge, dass x2 aus gesperrt bleibt. Das Res von wird dann offenbar gleich der Funktion A. Und in ergibt sich der Integralkern (' alles außer der Singularität ')
A = / | = 2
B = / | 3/2 =
Schreiben wir h ohne Bruch:
h = 4 / - 1 /
Für die Grobskizze erweist sich die TZ als äußerst hilfreich. Der Graf kommt von ; bei Annäherung an x1 von Links haut er ab nach und kommt wieder von

Bei Annäherung an x2 von Links ergibt sich aber eine Asymptotik nach und damit ein Min
< x < 3/2
Die Kurve kommt wieder von und schneidet die Abszisse 1.1b verebbt, erwarten wir
10/3 < x < x
Klaglos nehmt ihr hin, dass man gebrochen rationale Fkt. mit TZ AUFLEITET; warum leitet ihr sie nicht genau so ab? Schaut mal die Vorteile, die sich ergeben:
h ' = 1 / ² - 4 / ² = 0
² = ²
Ich weiß, was ihr jetzt denkt: Klammern aus multi wie verrückt und Mitternachtsformel. Das alles lässt sich geschickt umgehen - sofern man die QR meidet wie die Pest. Wir ziehen einfach die Wurzel aus
x + 4 = 2 x - 3 ==> x = 7
Wir dürfen aber die neg. Wurzel nicht vergessen:
x + 4 = 3 - 2 x ===> x =
Ich geh jetzt erst mal ratzen und schick ab, damit ihr schon was habt - den WP mach ich dann im Laufe des Tages.

Und jetzt wie versprochen der WP. Die 2. Abl. führt analog auf
³ = 4 ³
Übrigens - mit der QR kommt ihr da nie hin. Der Vorteil der TZ gegenüber QR. Ich kriege immer die richtige Asymptotik; um die Nullstellen des Zählerpolynoms brauch ich mich net kümmern. TZ ist immer schon Mund gerecht gekürzt. Hingegen der v ² Term der QR würde Polstellen 4. statt 3. Ordnung suggerieren.
Was ihr Schüler ja immer so geil findet: die Cardanoformel. Hinter der Kubikwurzel aus verbirgt sich ja nichts anderes.
2 x = 8 + 3 * 4 ^ 1/3
Eine Frage verbleibt noch: Wie beweisen wir Ungl.? Eine überraschende Beobachtung, charakteristisch für Aufgabentyp = Summe aus zwei Hyperbeln. ist die Ableitung von , d.h. hat die selben Extrema wie Genauer
s := 4 ³ - ³
Das Vorzeichen von wurde so fest gesetzt, dass der Leitkoeffizient positiv fällt; kommt von Unsere Strategie: Wenn es uns gelingt, für das Max von 2.2d)] < 0
dann ist klar
13.31.9
Der Beweis von ist aber trivial. Fassen wir auf als Summe von zwei Klammern; wegen
- 1/3 – 3/2 < 0
Ist die linke Klammer für sich schon negativ. Und der rechte Term ist es auch wegen
4 – 1/3

tolle antwort, auch wenn sie mich ein bisschen verwirrt

brüche schreibt man hier mit slash
1/3 = Ein Drittel
5/3 = Fünf Drittel

ich habs darunter immer nochmal mit / gemacht, wollte nur versuchen, eine schönere optik zu erstellen.

Oder man macht es mit LaTeX und stellt es dann als Bild hier ein.

Partialbruchzerlegung

Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Partialbruchzerlegung
undhier zum Üben

Ein Beispiel dazu findest Du unter:
Partialbruchzerlegung

Auch zu diesem Thema könnte man eine Frage stellen.

Partialbruchzerlegung.

meine Frage noch einmal konkret, warum muss ich bei dem ersten Beispiel das zerlegen in x und ^2 und im 2. Beispiel nur in ^3 und ^3. Das ist eigentlich der Punkt mit dem ich mich noch nicht ganz so anfreunden kann. schon einmal für

Ooooh freu!
Was mir hier am Meisten Leid tut: Überall kriegt ihr gesagt, Teilbruchzerlegung ginge über Unbekannte. Meine geniale Entdeckung, die für euch Schüler so wesentlich ist, spricht sich einfach nicht herum; such doch mal nach meinen Antworten in diesem Forum - alles, was mit Residuen zu tun hat. Es geht nämlich mit Residuen - und das erweist sich gerade für euch Schüler als lebenswichtig.
Du musst dich erst mal in Wiki oder in der Literatur schlau machen über den Lehrsatz, betreffend Existenz und Eindeutigkeit der TZ. In deinem Falle hast du dreifache Nullstellen; da ist dann auch bis zur 3. Ordnung zu entwickeln. Wenn schon der Ansatz nicht stimmt, kommst du nie zu einem brauchbaren Ergebnis.
Ich sehe grad: Du hast ja zwei Beispiele. Ich beschränke mich hier auf dein zweites, weil du im ersten Fall so krumme Wurzeln hast. Deine Umformung im ersten Fall stimmt auch nicht; Mensch kannst du nicht mal eine quadratische Gl. lösen? x = 1 ist überhaupt keine Nullstelle in deinem Fall.
3 x ² + 1
-- ³
= A / + B / ² + C / ³ +
+ D / + E / ² + F / ³
Kennst du den Witz von Klein Hänschen?
„Hänschen; was habt ihr heute auf?“
„Pappi; ich hab 6 Unbekannte auf.“
„Hättste mal lieber 6 Richtige nach Hause gebracht …“
Z.B. bei Wolfram gibt es ein KI-Programm; da wird dir allen Ernstes eine 6 X 6 Matrix an geboten, um obige sechs Unbekannte zu lösen. Ein Treppenwitz der Mathematikgeschichte. In allen Lehrbüchern wird behauptet, Residuen gehen LEICHTER als TZ. Meine geniale Entdeckung; TZ geht MIT Residuen. Die Unbekannten sind auch für Schüler in endlicher Zeit lösbar.
Was ich dir jetzt verpasse, bezeichnet man in der Uni als Steilkurs; ich fülle dich ohne Beweis ab mit allen wichtigen Infos zum Thema ==> Funktionentheorie und Residuen, die wir hier benötigen. Wenn du weiter gehende Fragen hast – gerne. Die FT beschäftigt sich mit Funktionen
w : |C ==> |C
z ==> w
Dabei möge die Funktion diffbar sein auf |C oder zu Mindest im Innengebiet eines Kreises. Des Weiteren führe ich die Funktion ein
F := 1/ 2*Pi*i w /
besitzt einen einfachen Pol in z0 – Wir wollen als Integralkern von bezeichnen. Ihr Residuum werde definiert als das Integral
Res F | z0 := INTEGRAL F dz
Gemeint ist ein Kurvenintegral um + 360 ° um den Rand einer ==> einfach geschlossenen Kurve Es reicht, wenn du dir als Prototyp einer EGK immer einen Kreis denkst. Auf die nähere topologische Problematik des Integralbegriffs soll hier nicht eingegangen werden. Ein bemerkenswertes Resultat ==> Cauchysche Integralformel besagt nun: Liegt z0 außerhalb des Kreises, so verschwindet das Residuum. Liegt es im Innengebiet, so gilt
Res F | z0 = w
In Worten: Das Residuum ist gleich dem Funktionswert des Integralkerns an der Polstelle.
In sprachen wir von einer einfachen Polstelle; in haben wir es dagegen mit 3-fachen Polstellen zu tun. Wir haben hier gleich den allgemeinen, den komplizierten Fall. Aber es passiert an sich nichts Schlimmes. Wir multiplizieren mit ² und integrieren über einen Kreis K, der zwar x2 = + 1 enthält, dessen Radius aber so klein aus fällt, dass der Pol x1 = aus gesperrrt bleibt.
/ ³ =
= C / + | K
Die eckige Klammer, die ich in ein geführt habe – nennen wir sie Residuenklammer – bezeichnet

Die eckige Klammer, die ich in ein geführt habe – nennen wir sie Residuenklammer – bezeichnet
1GRF Diese Funktion ist im Inneren des Kreises K definiert; der Index K kann auch fort fallen, falls keine Missverständnisse möglich sind.
3 Diese GRF hängt linear ab von allen Parametern rechts vom Semikolon.
Das Residuum der Residuenklammer ist immer Null. Falls jetzt die Frage auftauchen sollte; was machen wir mit mehrfachen Polstellen außerhalb des Kreises? Es wird sich unten heraus stellen, dass mehrfache Polstellen auf Ableitungen des Residuums führen; Ableitungen einer identisch verschwindenden Funktion sind natürlich auch Null.
Ich stelle hier eine Strategie vor, sämtliche Unbekannten zu separieren; als Residuum von finden wir C. Ein Blick auf gibt uns den Integralkern von
G = / ³
G = ½ = C
Der Parameter rechts von dem Semikolon bezeichnet nur die Polstelle; in unserem Fall gibt es ja zwei Residuen. Wir haben noch
G = / ³
G = = F
Was wir mit einer doppelten Polstelle machen müssen, ergibt sich leicht aus folgender Betrachtung. Aus liest man ab
w ‘ = INTEGRAL F_z0 dz
Und jetzt einsetzen von in das Integral
F_z0 = 1/ 2*Pi*i w / ²
Als quadratisches Residuum finden wir also die Ableitung des Integralkerns Um kubische Singularitäten zu eliminieren, multiplizieren wir mit
/ ² ³ =
= B / + C / ² + | K
Der Koeffizient C in lässt sich ja auch auffassen als Funktion, die identisch konstant ist. Ihre Ableitung verschwindet in jedem Falle, die wir nach zu bilden haben. Bleibt als Residuum B übrig.
Schüler würden Ableitungen mit der Quotientenregel ermitteln – ein Alptraum. Ich weiß nicht, ob es da schon was gibt – die nummerischen Werte von Ableitungen beliebig hoher Ordnung lassen sich bequem durch rekursive Anwendung der Produktregel gewinnen. Wir stellen also um
³ G = 3 x ² + 1
Ableiten
3 ² G + ³ G ‘ = 6 x
x einsetzen und beachten
6 + 8 G ‘ = 6 ==> B = 0
Und D verschwindet entsprechend auch. Jetzt nochmals ableiten
w “ = INTEGRAL F_z0z0 dz
F_z0z0 = 1/ Pi*i w / ³
Wir können nunmehr dazu übergehen, Original zu integrieren; wenn der Kreis den Pol x2 = 1 enthält, überlebt als Residuum von nur A. D.h. ableiten
6 G + 6 ² G ‘ + ³ G “ = 6
x ein setzen in unter Beachtung von ; ferner müssen wir die erste Ableitung in Null setzen. Es stellt sich heraus, dass A und D ebenfalls verschwinden. Hurra; Ergebnis stimmt.
Aber da ist noch etwas, was ich dir wärmstens ans Herz legen möchte; versuch doch mal, mittels QR die Ableitung von zu bilden. Und jetzt vergiss die ganze QR und benutze die TZ, um die Asymptotik in der Umgebung der Pole zu ermitteln; wo erwarten wir Extremwerte, wo WP? Ich will dir einfach vermitteln; mit TZ wird nicht nur das Aufleiten, sondern auch Ableiten von GRF extrem erleichtert.
Und jetzt tu mir die Liebe und trage dieses ganze Referat mit dem Overheadprojektor vor der Klasse vor. Damit ich nicht bei jedem von euch immer wieder von Null anfangen

Partialbruchzerlegung

Hatte selber mit Partialbruch zerlegung leider noch nichts zu tun, aber habe da gerade mal drüber geguckt. x²+1 hat keine Nullstelle bei 1: 1²+1 = 2. x²+1 hat die Nullstellen i und -i. Damit hättest du dann auch deine drei Nullstellen.

Also zunächst zu aNordpolreellen) Pole. Wir haben Punkt_Symmetrie um den Pol
x = -1. Wir führen die Substitution durch
z := x + 1
f = f = 1/z
f = -f
Wir machen den Ansatz
f = A/z + B/ + C/
|||||A + Bz + Cz
f = --- ||||||||||||||z
Koeff.Vergl. zwischen und ergibt für den quadr. Term
A + B + C = 0
für den lin. Term
+ C = 0
für den abs. Term
= 1
A =
B = C = 1/8
drückt noch einmal die Symmetrie aus.
Das Ergebnis lautet jetzt
f = z + 2z - 2
Diese Funktion nähert sich asymptotisch für x ===> unendl. von der pos. Seite der x_Achse. Wir haben nur einf. Pole. Verfolgen wir die x_Achse nach links. Dann erfolgt bei z3 = der Sprung von Plus nach Minus. Da es keine Nullstellen gibt, erwarten wir zwischen z2 = 0 und z3 = das Maximum; entspr. spiegelsymmetrisch dazu das Minimum.
Die Extremwerte ergeben sich unmittelbar aus der Ableitung des Nenner_Polynoms von
N = z
N' = z² - 4 + 2z² = 3z² - 4
z = sqr
was dem Betrag nach < 2 bleibt.
Für zweipolige gebr. Fkt. ist Teilbruch_Zerlegung d i e Methode der Kurven_Diskussion - ganz entgegen dem, was man in der Schule immer so hört. Das geht hier gar nicht. Gib mir doch mal'n Beispiel, damit ich das hier vorführen und so richtig glänzen kann.
Dieses war die erste Zerlegung - nachher noch'ne Darlegung.

Wir machen hier nur ungern Hausaufgaben; wenn du eine konkrete Frage hast beantworte ich sie dir gerne.
Partialbruchzerlegung ist relativ einfach, nimm den Ansatz und rechne es aus.
Wenn du dabei Probleme hast, melde dich nochmal, dann helfe ich dir

Erst einmal die PBZ-Gleichung auflösen und dann Koeffizientenvergleich:
x² + 4x²-1Bx + C
/
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ergibt sich daraus nun:
B = -2
4A - C = 1
Übrig bleibt dann noch:
Bx³ + Ax² + Cx² = 0
bzw. etwas umgeschrieben:
x²A + x³B + x²C = 0
Hier liegt auch dein Problem: Du darfst nicht einfach für das weitere B-Vorkommen einen neuen Zahlenwert suchen, der gut reinpasst, sondern musst deine bereits existierende Zeile/Festlegung wiederverwenden. Dann bekommst du auch keine weiteren widersprüchlichen Zeilen.
Die obige Gleichung kann man noch umstellen, indem man das bekannte B einsetzt:
x²A + x²C = 2x³
Wir wissen zudem, dass folgendes gilt:
4A - C = 1
Das können wir umformen:
C = 4A - 1
Das nun eingesetzt:
x²A + 4Ax² - x² = 2x³
x² auf beiden Seiten ausklammern:
A + 4A - 1 = 2x
5A - 1 = 3x
A = / 5
Ergibt somit folgende Koeffizientenmatrix:
A B C
1 0 0 | / 5
0 1 0 | -2
0 0 1 | - 1
Das nun in den Partialbruch einsetzen und man hat es.
Alle Angaben ohne Gewähr - wollte eigentlich garnichts mehr rechnen heute.