Nullstellen trigonometrischen funktionen ermitteln
Ich bereite mich jetzt schon seit 2 Wochen auf meine Matheprüfung vor und glaube, dass ich gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sehe.
f=2sin+sin ist zu diskutieren.
f'= 2cos+2cos
Die Punkte für die Extremstellen hab ich gegeben und soll nun beweisen, dass dies auch die Extremstellen sind. Ist ja kein Problem, in die erste Ableitung einsetzten dann ist das Null und in der zweiten Ableitung prüfen.
Wenn ich nun aber die Stellen nicht gegeben hätte, wie käme ich dann auf die Nullstellen?
Also die Nullstellen von f'= 2cos+2cos
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Nullstellen von trigonometrischen Funktionen ermitteln?
meistens ist in einer Matheprüfung eine Formelsammlung zugelassen.
In deinem Fall also erst mal da rein schauen.
Gilt dies für deine Prüfung nicht, so wird in so einem Fall immer ein Tipp gegeben.
Bspw.
"Hinweis: cos 2x = 2 cos² x - 1"
Wenn auch das nicht der Fall sein sollte, dann weiß man es halt oder leitet es sich geschwind her *hust*
Weitere Möglichkeit wäre auch, ein bisschen rumzuprobieren.
In Prüfungen kommen meistens "schöne" Ergebnisse raus.
Nun denn, zufälligerweise sagt mir meine Formelsammlung das cos 2x = 2 cos² x - 1 ist.
Es gibt noch viele andere Umstellungsvarianten, aber diese ist hier am praktischsten.
cos 2x durch den Term von oben ersetzen ergibt
f' = 0 = 2 cos x + 2
0 = 2 cos x + 4 cos² x - 2
0 = cos² x + 1/2 cos x - 1/2
Diese Gleichung schreit nun förmlich nach der Mitternachtsformel, also cos x durch eine Variable substitutieren.
cos x = z
0 = z² + 1/2 z - 1/2
Diese Gleichung ist für z1 = -1 und für z2 = 1/2 erfüllt.
Nun wieder rückwärts substituieren.
z1 = -1 = cos x
Damit die Gleichung gilt, muss x = n * Pi, n = 1,3,5,. sein.
z2 = 1/2 = cos x
Dies ist für x = 1/3 + 2*n*Pi, n = 1,2,3,.
sowie für
x = 5/3 + 2*n*Pi, n = 1,2,3,.
erfüllt.
Und die x-Werte für z2 entsprechen genau deinem gegebenen Werten.
Alles verstanden?
Schönen Tag noch
ippi2