Mathematik gebrochen rationale funktionen

Mathematik: Gebrochen-Rationale Funktionen

Zuerst Die Definitionsmenge ID bestimmen, dazu den Nenner = 0 setzen , die Ergebnisse x1, x2,. sind verboten, also ID = IR \ {x1,x2}.
Bei Deinem Beispiel ist ID = IR.
Nullstellen: Zähler = 0 setzen
und schauen, ob sie zu ID gehören.
Polstellen: Nenner = 0 setzen
Weil bei Dir ID = IR ist, gibt es weder Polstellen noch Lücken und auch keine senkrechten Asymptoten.
Für x --> oo gilt bei Dir f --> 1, also hat f die waagrechte Asymptote y = 1.

Hier findest Du ein ausführliches Beispiel:
Matroids Matheplanet - Die Mathe Redaktion - Portal Mathematik

Ich habe euch hundert Mal; tausend Mal gepredigt: Polynomdivision + Teilbruchzerlegung Ob wir hier TZ benötigen, überlasse ich deinem Scharfsinn. Ich unterstelle jetzt mal, du meinst mit Klammern:
f =
x ² - 1
-- x ² + 1
Wo ihr die PD anwenden sollt, benutzt ihr sie nicht; bloß wo sie umständlich ist, seid ihr wie versessen drauf. In reicht es doch schon, 2 im Zähler zu addieren und anschließend wieder zu subtrahieren.
f = 1 - 2 /
Die asymptote ist also eine Parallele zur x-Achse; als Nächstes solltest du dich in Wiki schlau machen über die ==> Lorenzkurve
L := 1 /
ist eine spektrale glockenkurve, die so ähnlich aus sieht wie die Gaußverteilung - nur schlanker und steiler.

hjklma; du weißt, dass ich süchtig bin nach Kurvendiskussionen. Nehmen wir mal das Beispiel von Matheplanet.
h :=
f
--- g
f := 3 x ³ + x ² - 4
g := x ² - 4
Der Faktor 4 im Nenner scheint mir höchst überflüssig.
Nullstellen
f = 0
Und jetzt muss ich euch ein Geheimnis an vertrauen, das findet ihr in keinem Skript. Wir suchen nämlich alle rationalen Nullstellen x0 von Mein Freund Ribek teilt mir mit: Wenn es überhaupt solche gibt, so müssen diese die Teilbarkeitsbeziehungen erfüllen.
x0 := p0 / q0
f = 0
p0 | b0
q0 | b3
Es kommen also - bis auf das Vorzeichen - im Zähler nur 1, 2 und 4 in Betracht, im Nenner nur 1 und 3.
Es gilt folgende Alternative: Ein kubisches Polynom ist entweder prim; oder es hat eine rationale Nullstelle. Auf jeden Fall ist schon mal Eisenstein negativ.
Nun; es ist wie stets in diesen Beispielen; x0 = 1 leistet das Verlangte.
Die Anwendung der PD scheint ja unausrottbar; was Matheplanet will, krieg ich doch mit Vieta viel schneller. Dazu müssen wir in Normalform bringen.
f1 = x ³ + 1/3 x ² - 4/3
Der Vieta von lautet
a2 = - z0)] = 1/3 ===> Re =
Irre sind menschlich, und wir sind allzumal Sünder – ich weiß. Schaut mal; Matheplanet hat einen Vorzeichenfehler.
a0 = - x0 | z0 | ² = ===> | z0 | = 2 / sqr
Und jetzt macht Matheplanet die PD von
h = 3 x + 1 + 12 x /
Mea maxima; diese Punktsymmetrie hätte ich überhaupt nicht gesehen. Wie sagt Onkel Einstein? Es kommt nicht nur daraf an, die Dinge zu registrieren, sondern auch zu interpretieren. Diese Symmetrie hängt schlicht und ergreifend damit zusammen, dass
h = 1
Zieht man dien Offset von ab, so verbleibt
H := h – 1 =: F
--- g
mit
F = 3 x³
hat die verlangte Symmetrie; und der Nenner
ist Achsen symmetrisch. Aber das Wesentliche bleibt hier unerwähnt; F besitzt eine dreifache Nullstelle. D.h. die 1. Und 2. Abl. verschwinden; die erste nicht verschwindende Ordnung ist die 3.
Kann ich das auch von der gebrochenen Funktion H in behaupten? Ja. Diesen Lehrsatz machen wir uns jetzt zu Nutze; wir haben h ja nur verschoben. Das ändert doch nichts an den Ableitungen. Zu erwarten steht ein Sattelpunkt im Ursprung genau wie bei F
Und diesen Satz werden wir jetzt beweisen. Als hinreichend erweist sich dabei die Annahme
g 0
Der Nenner soll ja nicht singulär werden. Zunächst haben wir trivial in nullter Ordnung
F = 0 H = 0
In erster Ordnung gilt dann
F ^ F ‘ = 0 H ^ H ‘ = 0
Wir stellen um
H g = F
Anwendung der Produktregel
H ‘ g + H g ‘ = F ‘
‘ ‘
Voraus gesetzt wird jetzt, dass und Null sind; es darf durch g dividiert werden. Mit folgt die Beh. Nächster Schritt
F ^ F ‘ ^ F “ = 0 H ^ H ‘ ^ H “ = 0
Nochmalige Anwendung der Produktregel
H ” g + 2 H ‘ g ‘ + H (x0

” g + 2 H ‘ g ‘ + H g ” = F ”
Wenn man beachtet – wir hatten es ja bereits bewiesen – dann funktioniert die Herleitung genau wie oben.
Ihr solltet jetzt eine Hypothese für n Ableitungen formulieren und induktiv beweisen; denn streng genommen steht noch aus, dass die dritte von H nicht verschwindet
Wir wollen nunmehr diesen Faktor 3 bei unterdrücken.
H = x + 4 x /
Matheplanet sagt nicht ausdrücklich, woher er wissen will, ob ein Graf bei Annäherung an einen Pol nach Plus oder Minus Unendlich geht. Hierzu eignet sich das Werkzeug der TZ ganz hervorragend; TZ wendet man immer an, wenn Zählergrad < Nennergrad - also genau umgekehrt wie bei der PD.
Es ist sicher ehrenvoll zu preisen, wenn ihr euch bei Wolfram oder in der Literatur schlau macht über den Existenz-und Eindeutigkeitssatz der TZ. Ich gebe einfach mal die Zerlegung im Falle an
r := x / =
= A / + B /
Und ich habe jetzt eine geniale Entdeckung gemacht, die ganz besonders euch Schülern zu Gute kommt; Wolfram erschlagen dieses TZ-Problem mit Matrizenhierarchien und endlosen Unbekannten. Die frohe Botschaft; nie mehr Unbekannte. Diese Zufallsentdeckung gelang mir auf Grund ganz ähnlicher Fragen von Lycosteilnehmern, wie sie mit Matheplanet in Zusammenhang stehen.
Gehen wir zunächst heuristisch vor; das Symbol möge heißen ‚ist ungefähr gleich‘ Dann kann ich in der Umgebung des Pols x2 = 2 doch genähert in einen langsamen und einen schnellen singulären Faktor zerlegen
r = x / | x = 2 * 1 /
½ * 1 / = A / ===> A = ½
Hier das ist ja Hexeneinmaleins; funktioniert das auch noch mit einer Million Polen? Ich hatte nie die mindesten Zweifel – wie beweist man das? Mit ===> Residuen
Wegen der Symmetrie muss ja sein B = A; macht ruhig die Probe. bekommt dann die Gestalt
H = x + 2 x – 2x + 2
Wir beschränken uns auf das Verhalten in der Umgebung von x2. Das Vorzeichen in ist positiv; von Rechts haut die Kurve ab nach Da ihre Asymptote – die Winkel Halbierende – steigt, erwarten wir für x > 2 ein Min. Solche ganz entscheidend wichtige Überlegungen vermisse ich bei Matheplanet.
Von Links geht sie nach ; wegen der Symmetrie ist der Sattelpunkt im Ursprung schon glaubhaft.
Ich werde auch nicht müde zu predigen: Eine Fkt. leitet man ab wie auf; PD + TZ. Besonders unanständig finde ich in diesem Zusammenhang, dass Matheplanet ein Geheimnis daraus macht, wie er die Ableitungen bestimmt.
H ‘ = 1 - 2 x + 2x – 2
² - 4 = 0
x ² = 0
in Übereinstimmung mit Matheplanet; beachte die doppelte Nullstelle im Ursprung – wie voraus gesagt.
Zweite Abl. WP – wir werden direkt auf die Cardanoformel geführt, auf die Schüler immer so neugierig sind.
H “ = 0 ==> ³ = - ³
x + 2 = 2 – x ===> x = 0
So; ich geh jetzt erst mal schlafen. Morgen dann erklär ich euch die Residuen; wer mich/es schon kennt, mag es gerne statt meiner übernehmen.