Majorantenkriterium konvergenz minorantenkriterium divergenz

Majorantenkriterium für Konvergenz und Minorantenkriterium für Divergenz

Eine Reihe ist eine Summe über die Glieder einer Folge. Bildet man den Grenzwert n → ∞, so erhälft man eine unendliche Reihe, falls der Grenzwert existiert.
Existiert der Grenzwert, so ist die Reihe konvergent. Andernfalls ist die Reihe divergent.
Es gibt mehrere verschiedene Kriterien, mit denen man eine Reihe auf Konvergenz/Divergenz untersuchen kann.
► Eines ist das Majorantenkriterium: Seien Σa_n und Σb_n zwei Reihen und gilt |a_n| ≤ |b_n| für fast alle n, so nennt man Σ|b_n| eine Majorante von Σa_n.
In Worten: Sind zwei Reihen gegeben und die Folge der ersten Reihe ist für fast alle Glieder kleiner als die der zweiten. So folgt daraus, dass die Summe über die erste Folge kleiner ist als die Summe der zweiten Folge.
Also die erste Reihe/Summe ist "kleiner" als die zweite Reihe/Summe.
Die "größere" Reihe wird dann Majorante von der "kleineren" genannt und die "kleinere" Reihe wird Minorante von der "größeren" genannt.
Wenn du das verstanden hast, dann sind wir schon fast am Ziel. Denn jetzt kommt eigentlich erst die Aussage des Kriteriums:
►Ist die Majorante einer gegebenen Reihe absolut konvergent, dann auch die gegebene Reihe.◄
Ist ja klar, denn wenn die "größere" Summe/Reihe einen Grenzwert hat, dann die kleinere natürlich erst recht. Es kann nicht sein, dass der Grenzwert der Majorante z.B. 5 ist und die "kleinere" Reihe divergiert, also gegen unendlich strebt, weil fast alle Partialsummen der "kleineren" Reihe ja kleiner sind als die der Majorante und desshalb die Summe darüber natürlich auch kleiner ist als die der Majorante.
► Ist die Minorante einer gegebenen Minorante divergent, also der Grenzwert strebt gegen unendlich, dann strebt der Grenzwert der gegebenen Reihe natürlich erst recht gegen unendlich und ist desshalb auch divergent ◄
WICHTIG:
► Divergiert eine Majorante, dann kann man keine Aussage über die Minorante machen.
► Konvergiert eine Minorante, dann kann man keine Aussage über die Majorante machen.
Konvergiert das Größere, dann auch das Kleinere, divergiert das Größere, dann wissen wir nicht was das KLeinere macht.
Divergiert das Kleinere, dann auch auch das Größere, konvergiert das Kleinere, dann wissen wir nichts über das Größere.
Machen wir doch gleich mal eine etwas kompliziertere Aufgabe.
Gegeben sei die Reihe Σ 1/n². Untersuche auf Konvergenz/Divergenz.
Lass uns die Reihe erst einmal bischen umformen. Indexverschiebung von n→n+1 und dann Abspaltung des Summanden für n=0] falss n größer gleich 1 ist.
Wir haben eine konvergente Majorante gefunden
Σ 1/n² ist konvergent nach dem Majorantenkriterium
Damit wissen wir sofort, dass jede Reihe Σ 1/n^k konvergent ist für k größer gleich zwei, denn Σ 1/n² ist eine Majorante für Σ 1/n^k falls k größer gleich zwei ist.
Ich hoffe ich konnte dir das Thema etwas verständlicher machen. Bei Unklarheiten einfach Fragen denn in einem solchen Fließtext lässt sich Mathe meist schlecht darstellen. Und schließlich sind Tippfehler nicht ausgeschlossen.