Exponentielles wachstum

Exponentielles Wachstum?

Lambda -> L
6800m^3 = 4400m^3 * e^
1/8J6800m^34400m^3)) = L = 0,05
N = 4400m^3 * e^ = 7581,81m^3
--
N = 1998 * e^0,05 = 7689,03m^3
N = 1999 * e^0,05 = 7802,24m^3
N = 2000 * e^0,05 = 7921,78m^3
N = 2001 * e^0,05 = 8048,01m^3

Ich bekomme 7925 m³ heraus.
N = -300*5
N = 7925,43

So kann man das nicht rechnen.
Außerdem scheinen die Bestände immer am Ende des angegebenen Jahres gemeint zu sein: "Ende 2002"
*1,0559. = Bestand Ende 1998

Das ist egal, relevant ist ja nur der Bestand für 2002.
Man rechnet einfach den Bestand nach 14 Jahren aus, und zieht die 1500 davon ab.

Ja, in meiner Antwort meinte ich die Bestaende zum Jahresende.
Du kannst nicht einfach 1500m^3 abziehen, da diese jaehrlich 300m^3 sich ebenfalls vergroessert haetten und somit zum neuen Bestand im Folgejahr beigetragen haetten.

Ja, der Holzbestand hat sich ja bis 2002 exponentiel erhöht, aber das Holz, das geschlagen wurde blieb jedes Jahr gleich.
Würde auch keinen Sinn machen, wenn sich das gefällte Holz pro Jahr exponentiel erhöht."
Natuerlich nicht, aber wenn man es nicht faellen wuerde, wuerde es im Folgejahr MEHR als 300m^3 MEHR Holz geben als wenn man es faellt.

Ich verstehe nicht ganz, was du meinst. Könntest du das nochmal anders formulieren?

Lebendige 300m^3 wachsen weiter. somit gaebe es im Folgejahr nicht nur die 300m^3 mehr, sondern auch das, was diese 300m^3 in diesem Jahr gewachsen sind.

In dieser Formel berechnet man den Bestand im Jahr 2002. Dabei wird angenommen, dass nichts abgesägt wurde, d.h. die 300m³ die weiter gewachsen sind, sind in dieser Formel inkludiert.
Nun zieht man die 300m³, die jedes Jahr abgesägt wurden, einfach ab.
Und da es ja 5 Jahre gegeben hat, in denen 300m³ abgeholzt wurden: *5
==> - 300*5
Ich sehe da keinen Fehler.

Ich hatte schon verstanden, wie du auf die Formel kommst.
Trotzdem ist sie nicht korrekt.
Denn es werden nicht im Jahre 2002 1500m^3 abgeholzt, sondern jedes Jahr 300m^3.
Diese Verluste beeinflussen den Bestand des jeweiligen Folgejahres, da eben nicht nur die 300m^3 fehlen, sondern auch der Teil, der aus diesen entstanden waere.
Ich wiederhol mich nur noch >.< ich geb auf.

Kannst du in meiner Antwort den Teil nachvollziehen, wo ich in 1-Jahr-Schritten vorgerechnet hab?

Also, wenn ich das richtig verstehe, können die 300 m³, die jedes Jahr abgeholzt werden, nicht mehr nachwachsen. Und mit meiner Formel ließ ich sie nachwachsen.
Ich glaube ich verstehe jetzt, worauf du hinaus willst.
Aber gibt es da nicht einen schnelleren Lösungsweg, als jedes Jahr einzeln auszurechnen?

Den gibts bestimmt, aber ich kenn ihn nicht. Duerfte auch etwas komplizierter sein

Ja, in meiner Antwort meinte ich die Bestaende zum Jahresende."
Dann hast du die 300 m³ 1998 abzuziehen vergessen.

Stimmt so stimmen immerhin die Zahlen nicht. Das Prinzip bleibt aber das gleiche

7654,21 müsste in dem Fall herauskommen. Stimmt das?

Diese Bewertung hast du dir redlich verdient!
sehr

an meinem Erklaer-Talent arbeite ich noch aber Hauptsache ist ja, dass du es verstanden hast

Exponentielles Wachstum und lineares Wachstum?

Also exponentielles Wachstum gehört bei mir zur e-Funktion.
B = B*e^
k ist dabei der Wachstumsfaktor, t die Zeit, B der Bestand zum Zeitpunkt t und B der Anfangsbestand.
Die exponentielle Abnahme ist dann:
B = B*e^
Lineares Wachstum ist die normale Formel einer Geraden.
f = m*x + c
Dabei ist dann m der Wachstumsfaktor, sonst Steigung genannt und c, normalerweise der y-Achsenabschnitt, ist der Anfangsbestand.

ist die Abkürzung für die Exponentialfunktion. Da du die aber noch nicht hast, lautet bei euch wahrscheinlich das exponentielle Wachstum f = a^x und die exponentielle Abnahme f = a^-x.
Kann man ineinander umrechnen, aber die komplexere Variante brauchst du dann wohl noch nicht.

Wenn du das mit Startwert haben willst, dann wäre das mit der Symbolik von oben:
B = B*k^t
Also a = k Wachstumsfaktor
B ist der Anfangswert.
Wenn du eine Abnahme hast, dann sieht das genauso aus, nur dass dann k^-t da steht und k halt Abnahmefaktor oder so heißen müsste.

das stimmt und was genau ist a das hab ich nämlich nicht verstanden?

was genau ich mit a bezeichne. Den Startwert? Oder das Wachstum bzw Abnahme?

Oh, ok.
Wenn du das mit Startwert haben willst, dann wäre das mit der Symbolik von oben:
B = B*k^t
Also a = k Wachstumsfaktor
B ist der Anfangswert.
Wenn du eine Abnahme hast, dann sieht das genauso aus, nur dass dann k^-t da steht und k halt Abnahmefaktor oder so heißen müsste.

Wenn ich es mir recht zusammenreime, dann stehen lineare "Kurven" immer mit ax in Zusammenhang. Also z.B. 2x oder 1/2x oder in einer Funktion y=ax+b. Die in ein Koordinatensystem übertragen "Kurve", der Graph ergibt dann eine Linie bzw. Gerade. Eine exponentielle Funktion steht dagegen mit x*a in Zusammenhang. Also z.B. x-quadrat oder in einer Funktion y=x*a+b. Gezeichnet ergibt sich wirklich ein "kurviger" Graph im Koordinatensystem.

Ja und! Sind die denn nicht exponentiell?

Meines Wissens nicht.
Wenn man x^2 und 2^x vergleicht, ist da das Wachstum doch auch ganz unterschiedlich.
1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9, 4^2 = 16, 5^2 = 25, 6^2 = 36
2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64

Jupp, leuchtet mir ein. Aber könnten dann nicht auch a-hoch-x die Potenzfunktionen und x-hoch-a die Exponentialfunktionen sein?

Nein, a hoch x ist als Exponentialfunktion definiert und x hoch a als Potenzfunktion. Lies es in der Wiki nach, wenn du mir nicht glaubst.

lineares Wachstum ist im Grunde, wenn die Punkte einer Funktion auf einer Geraden liegen. Die einzige Formel die mir hierzu einfallen wuerde ist
f=y=m*x+b
so laesst sich fuer jeden x-Wert der dazugehoerige y-Wert ermitteln. ein einfaches beispiel waere m=2,b=0
der funktionsterm saehe also folgendermassen aus: y=2x+0=2x
der dazugehoerige graph im kartesischen Koordinatensystem sieht so aus: ^ y
|.
6.X.
|.
5.
|.
4.X.
|.
3.
|.
2.X.
|.
1.
|.
|--1--2--3--4--5-->x
der wert der x-koordinate eines Punktes ist also immer doppelt so gross wie der der y-koordinate. klar oder? der y-achsenabschnitt "b" bestimmt. wenn er =0 ist, ist die funktion eine ursprungsgerade, dh sie geht durch den punkt. b gibt also an, "wo die funktion anfaengt" fuer die Funktion y=x+1 sieht der graph so aus:
^ y
|.
6.X.
|.
5.X.
|.
4.X.
|.
3.X.
|.
2.X.
|.
X.
|.
|--1--2--3--4--5-->x
geht also durch den punkt , also im allgemeinen durch.
Zu linearen Funktionen ist festzuhalten, dass sich der "Bestand" um einen FESTEN WERT aendert und daher eine gerade entsteht.
Demgegenueber stehen exponentielle Vorgaenge, bei denen sich der Bestand um einen FESTEN PROZENTSATZ aendert! Das ist der wichtigste Unterschied.
Einmal handelt es sich um ABSOLUTES WACHSTUM und einmal um RELATIVES WACHSTUM.
wenn du die x-werte als Zeit betrachtest, so hast du einen Zuwachs pro Zeiteinheit, der Proportional zu dem Bestand ist. Beispiele hierfuer sind zB. Bakterien-Kolonien. da wird sich nicht 'absolut' vermehrt , sondern in abhaengigkeit von der groesse der vorhandenen kolonie.
mehr faellt mir immoment auch nicht ein. ich empfehle dir trotzdem die wikipedia-artikel
Exponentielles Wachstum – Wikipedia und
Wachstum – Wikipedia anzugucken.
viel Glueck bei deiner Klausur

habe ich schon die sind aber zu kompliziert und können mir meine frage leider nciht beantworten. trotzdem

Elli hat Unrecht. Funktionen wie exp werden in halb_log_Darst. zu einer Geraden mit Steigungsmaß k. Der Bestand verdoppelt bzw. halbiert sich während der charakteristischen Halbwertszeit.
Kurven wie x² oder x³ musst du auf loglog_Papier malen. Die Hochzahl, also im obigen Beispiel 2 oder 3, benennt dann die Steigung der Geraden.

Ableitung von Eulerscher Zahl, Exponentielles Wachstum

Die Ableitung von e^x ist wieder e^x.
Die Exponentialfunktion ist gerade die einzige Funktion, die abgeleitet wieder sich selbst ergibt.
Wenn statt dem x etwas anderes im Exponenten steht, dann musst du die Kettenregel anwenden. Also zunächst einmal die Ableitung von e^, also wieder e^, und dann das nachdifferenzieren.
Beispiel:
e^ ergibt abgeleitet e^ * Und in deinem Beispiel e^ ergibt nach t abgeleitet e^ * k
Der konstante Faktor vornedran bleibt einfach erhalten.
Also:
0,02 * e^ = 0,02 * e^

Äh, natürlich nicht =
Sollte ein Folgepfeil sein

0 ergibt abgeleitet f' = 0.
Verallgemeinert:
f = a*e^x ergibt abgeleitet f' = a*e^x, wobei a € R auch 0 sein darf.

Stimmt. Die ALLGEMEINE e-Funktion ist die einzige Funktion, die abgeleitet wieder sich selbst ergibt. So muss es heißen.

Das sieht nicht so aus, als ob du eine Ableitung brauchst.
Mit deiner Formel "--> f=0,02*e^" bildest du die Differenz
f-f = 150 cm
0,02*e^ - 0,02*e^ = 150 cm
Das rechnest du dann soweit aus, dass t0 und t1 ein klares Bild ergeben oder du fragst noch mal.

Die Antwort ist leider mathematischer Unsinn - nehmt es bitte nicht zur Kenntniss oder macht euch eure eigenen Gedanken

1. Du musst sinnvoll runden: k = /6 = 0,499. ~ 0,5, also
f = 0,02*e^ f = 1,8m
2. Zu e)
Meiner Meinung nach ist ein neues k gesucht mit f = 0,02*e^ und
f = 1,5 + 0,02 = 1,52
Einsetzen liefert k ~ 0,62.

G.J. hat mich auf einen Fehler hingewiesen:
Nicht f = 1,52, sondern f = 1,52, da t in Wochen gemessen wird.
Dann wäre k = 4,33.

Zu e)
Ich hab' mir die Frage noch einmal genau durchgelesen.
Meine Antwort wäre richtig, wenn nach der 1.Woche gefragt wäre.
Es wird aber gefragt, wann sie in einer Woche um 1,5m wächst.
Nennen wir die gesuchte Woche x, dann ist der Ansatz:
f - f = 1,5
0,02*e^ - 0,02*e^ = 1,5
e^* = 75
. x ~ 9,5
In der nach 9,5 Wochen folgenden Woche wächst sie um 150cm.

2. Meiner Meinung nach ist t zu dem festen k gesucht. f stimmt auf keinen Fall, da t in Wochen angegeben wird.

Das wäre die richtige Antwort auf die Frage "Unter welchen Bedingungen wächst sie in der ERSTEN Woche 150 cm".
fanzi-girl ist schon auf dem richtigen Weg.

Formel für ein exponentielles Wachstum?

Es gibt eien allgemeine Formel: Kn = K0 * q^n
K0 = Anfangsbestand
Kn = Endbestand
q = Wachstumsfaktor
n =Zeit

aaaaaah! genau jetzt macht das auch sinn:
2^x*10
2- wachstumsfaktor
x- Zeit
10 - anfangsbestand
und ja dankesehr

Zu berechnen ist dann die Fläche nachdem die Dinge sich "in einem gegebenen Zeitraum" vermehren. "Verdoppelung pro Woche"!
A ist dein Endbestand "Also die Fläche nach einer gewissen Zeit"
10 ist dein Anfangsbestand "Fläche am Anfang"
2 ist dein Wachstumfaktor "Verdoppelung"
t ist die Zeit "Muß gegeben sein"
Der gute Mann hat die Formel da oben geschrieben.
Exponentielles Wachstum - einfach erklärt