Bungee jumping formel

Bungee-jumping formel

Wie lässt sich das Bungeejumping nach dem freien Fall physikalisch erklären?
Kann mann dabei das Gummiseil als Federsystem auffassen?
Wenn ja, wie wäre dann die typische Federkonstante eines Seiles?
Bitte geben Sie auch eine Lösungsskizze zur Berechnung des Problems an!
das ist ja das richtige Ferienthema. Ist nicht neulich einer hart gelandet, weil die Elastizität des Seils falsch berechnet wurde?
Vielleicht erstmal ein kurzer Exkurs über Gummielastizität: Anders als "normale" Festkörper basiert diese nicht auf den Federkräften zwischen den Atomen, sondern auf einem thermodynamischen Effekt. Gummi besteht aus langen Kettenmolekülen. Diese sind aber nicht unbedingt als gerade Kette angeordnet, denn im Gleichgewicht tendiert jedes System dazu, einen gewissen Grad an Unordnung aufzubauen. Dieser Grad an Entropie ist gegeben durch eine einfache Bedingung:
E - T*S muss minimal sein
Hierbei ist E die Energie des Systems, die beim Gummi in den molekularen Bindungen steckt, T die Temperatur und S die Entropie. Diese ist um so größer, je mehr Anordnungsmöglichkeiten das Molekül hat. Für eine gerade Kette gibt es genaue eine Möglichkeit, für eine verknäulte sehr viele. Wenn es nicht viel Energie kostet, das Kettenmolekül zusammenzufalten, wird also ein Zustand mit hoher Entropie lieber eingenommen.
Die Federkonstante eines einzelnen Moleküls, die man aus diesem einfachen Modell bekommt, ist
K = 3 k T / N A 2
wobei N die Anzahl der Kettenglieder, A ihre Länge und k die berühmte Boltzmannkonstante ist.
Eine etwas genauere Rechnung ergibt für die Kraft, die nötig ist, das Gummiband der Länge L um einen Faktor d zu dehnen
f = N k T / L * Ziehen wir jetzt an dem Gummiband, werden die Moleküle ausgerichtet und damit in einen Zustand niedrigerer Unordnung gebracht. Lässt man das Gummi los, schnappen die Moleküle in ihren Lieblingszustand zurück. Ausserdem sieht man an der Formel, dass mit steigender Temperatur die Entropie stärker ins Gewicht fällt, die Rückstellkräfte also größer werden - das Gummi wird härter.
In Wirklichkeit sind die Moleküle allerdings nicht ganz frei, sondern untereinander schwach verbunden.
Was heisst das fürs Bungeespringen? Für kleine Dehnungen verhält sich ein Gummiband wie eine Feder, für große nimmt die Federkonstante allerdings stark zu, denn im Gummi werden dann doch die Bindungen gedehnt.
Diese kleinen Dehnungen können allerdings für ein hinreichend weiches Gummi erheblich sein - eine Dehnung auf das doppelte oder dreifache der Ausgangslänge ist möglich.
Schauen wir uns jetzt mal die Bewegung an, die so ein armer Kerl ausführt, wenn er/sie springt:
Erstmal gibt es einen freien Fall über eine Länge L. Die Absprunghöhe sei h. Auf dieser Strecke wird eine Endgeschwindigkeit
v = 1/2
nach einer Fallzeit
t0 =t = 1/2
erreicht.
Wenn das Seil gestrafft ist, wird es elastisch gedehnt und die Bewegung wird gebremst. Die Beschleunigung a, die bisher ja gleich der Erdbeschleunigung war, reduziert sich in der Höhe x durch die Federkraft des Seils auf:
a = -g + K /m * denn die Länge des Seils ist nun h-x, die Dehnung h-x-L. K ist die Federkonstante des Seils.
Daraus lässt sich verhältnismäßig einfach die Höhe zu beliebigen Zeiten berechnen. Wenn Freddy sich nicht verrechnet hat, gibt das
x = mg/K 1/2 + 1/2 sin + h -L
Die maximale Dehnung ist erreicht, wenn die

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frage26
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Gerade solche Unis sind bei solchen Dingen oft sehr kleinlich.

Hier ist eine interessante Diskussion zu dem Thema:
Bungee-Jumping
und hier noch eine Beispiel-Aufgabe:
Bungee Jump Berechnen
und hier nochmal der Link zur Uni Augsburg:
frage26