Ober untersummenberechung zusammenhang differentialrechnung
Beispiel: y=x² im Integral
Und jetzt teil ich die Fläche ja durch mehrere gleich breite Rechteckstreifen mit der Breite 1/2 und so eine Treppenfigur entsteht. Jetzt will ich halt die 4 entstandenen Rechtecke einzeld berechnen und addieren um so auf die Obersumme zu kommen. In meinem Buch steht:
S4= 1/2*f + 1/2*f + 1/2* f + 1/2*f
= 3,75
Breite = delta x = 1/2
und um Buch steht dass die Höhe eines jeden Rechteckstreifen der jeweils Rechte Funktionswert ist ABER DIE HÖHE DES ERSTEN RECHTEDCK IST DOCH 1/4? des zweiten 1 des dritten 2,3 und des vierten 4? wie kommen die auf 1/2, 1, 3/2 und 2?
und zweite Frage, man nimmt ja den Mittelwert der Obersumme und Untersumme aber wie würde ich denn hier die Untersumme berechnen? Im Buch wird das iwie nicht gerwähnt.
Und dann habe ich noch eine letzte Frage zum allgemeinen Verständnis, man kann ja auch Flächen einfach mit Hilfe der Stammfunktion berechnen und das wird doch dann ziemlich genau aber wozu ist dann die Ober- und Untersummenberechnung gut? Ich soll nämlich Verfahren zur Integralrechnung vorstellen und dabei beide aber ich versteh nicht den Sinn von der Ober und Untersumme wenn ich jaa einfach die Stammfunktion bilden kann? Oder überseh ich da was?
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Ober und Untersummenberechung + Zusammenhang Differentialrechnung
S4= 1/2*f + 1/2*f + 1/2* f + 1/2*f =
1/2* = 3,75
Nicht 'wie kommen die auf 1/2, 1, 3/2 und 2 ', sondern f = 1/4.
wie kommen die auf "S4= 1/2*f + 1/2*f + 1/2* f + 1/2*f " und da drinne 1/2, 1, 3/2 und2? ich hätte jetzt einfach direkt abgelesen aber die mahen ja noch nen anderen schritt.wie geht der?
y=x² ist im Intervall streng monoton steigend.
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Die Höhe der Rechtecke bei der Obersumme ist immer der Funktionswert am rechten Rand der 4 Teilintervalle.
Die Höhe der Rechtecke bei der Untersumme ist immer der Funktionswert am linken Rand der 4 Teilintervalle.
Untersumme4 = 1/2*f + 1/2*f + 1/2*f + 1/2*f
Man nimmt nicht den Mittelwert der Obersumme und Untersumme sondern den Grenzwert der Obersumme und den Grenzwert der Untersumme für Δx → 0. Wenn beide übereinstimmen, existiert auch das Integral.
Irgendwie muss man ja herleiten wie man die Fläche unter einem Graphen berechnen und das macht man über Summen. Ein Integral ist nämlich nur eine Summe, kontinuierliche Summe und um das herzuleiten braucht man eben die Summen. Und das Integral existiert wenn Ober und Untersumme gleich sind.
aber ich kann doch auch einfach die stammfunktion bilden und dann für 2 und 0 ausrechnen und dann F-F und dann hab ich doch auch die exakte Fläche oder nicht? wieso soll ich ein mühsames näherungsverfahren machen wenn das da noch nichtma exakt rauskommt und mit F-F soo leicht geht? das kapier ich nicht
Aber es ist do gut mehr als ein Verfahren zu haben, mal ganz davon abgesehen das du nicht zu jeder Funktion eine Stammfunktion bilden kannst. Das mit der Ober und Untersumme gehört ebne zur Integralrechnung dazu und ist auch durchaus nützlich.