Extremwertaufgabe keine lösung

Hallo , hatte Vorprüfung in mathe Fachabitur. dran kam unter anderem eine Extremwertaufgabe. da die aufgabe nur einer in 2Klassen gelöst hat hat unser Lehrer gesagt, er schreibt darüber noch eine LK. Komme eigentlich im großen und ganzen mit extremwert gut klar, aber hier habe ich keine chance. Das ist die Aufgabe. In ein Kreiszylinder soll ein rechteckiges Prisma eingearbeitet sein. Das Volumen des prismas soll maximal werden. Wie groß ist dann die Kantengrundlänge, Höhe der Oberflächeninhalt und das Volumen des Prismas? Also ich weiß wie sich das Volumen des Prismas berechnet und da Ag ein Rechteck ist und ich weiß das ich jetzt 2 Nebenbedingungen brauch um nur noch 1 unbekannte in der Gleichung zu haben, welche ich dann ableiten muss um das Maximum zu berechnen. Soweit ist alles klar, aber mir fehlen halt die Ideen zu den nebenbedingungen. Weil ich kann ja nicht einfach h 6cm setzen. weil es muss ja nicht 6 cm. sein. Weil das geht ja auch gar nicht weil das ja die Spitze des Kreiszylinders wäre. Ich kommm dabei also nicht so recht weiter. Die Aufgabe muss auch unbedingt als Extremwert gelöst werden, Das hat unser Lehrer noch erwähnt als er gemerkt hat, das das jemand mit Überlegung versucht hat.

13 Antworten zur Frage

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Extremwertaufgabe und keine Lösung

hallo, hatte mich wirklich verschrieben, meinte einen kreiskegel.
Kann mir das ganze noch mal jemand ausführlich beschreiben. Hab irgendwie grade null durchblick?
Also dass die Höhe des Prismas gleich der Höhe des Zylinders ist, sollte man schon voraussetzen dürfen.
Die rechteckige Grundfläche wird der kreisförmigen Grundfläche des Zylinders einbeschrieben.
Anhand einer Skizze erkennst du:
²+²=r²=4
a²+b²=16
b=sqrt
V = a * sqrt*6
V' = 6sqrt - 6a²/sqrt = 0 |*sqrt; :6
0 = 16 -a² -a²
a² = 8
a = 2sqrt --> b = 2sqrt
Die rechteckige Grundfläche ist also eine quadratische.
Zum Nachweis des Maximums müsstest du nochmal ableiten.
V''2)) < 0
A und V des Prismas sind jetzt, denke ich, kein Problem mehr.
Wenns ein Kegel wäre, wärs natürlich lustiger:
Nebenbedingungen für a und b wie gehabt,
h des Prismas erhältst du mithilfe eines Strahlensatzes :
H/r = /
3 = /
h = 6 - 1.5a
Dann ergibt sich V:
V = a * sqrt* = sqrt*
V' = /sqrt + sqrt* = 0
0 = 4.5a³-12a²-48a+96
a1,2 = 4; 2/3*sqrt=1.737034184
Min bei a=4 ;
Max bei a=2/3*sqrt=b; h=7-sqrt=3.3944
Für den Fall des Kreiszylinders:
a,b Seiten des Rechtecks, H Höhe des Kegels, r' halbe Diagonale des Rechtecks bzw. Quadrats, h Höhe des Quaders
Dass A für ein Quadrat maximal wird, kann man zunächst allgemein zeigen für einen Kreis mit Radius r:
A=a*b
A=a*sqrt
A' = sqrt - a²/sqrt=0
a=sqrtr
b=sqrtr =a
Strahlensatz am Kegelquerschnitt:
/r' = H/r (mit r' Hälfte der Rechteckdiagonalen)
somit h = 6-3r'
Für eine quadratische Grundfläche ergibt sich:
a²+a²=(2r')² --> r'=a/sqrt
V = a²h = a²r = 6a² - 2))a³
V' = 12a - 2))a²=0
a1=0; a2=4sqrt/3=1.886
Du warst mal wieder schneller, und wenn sie unsere beiden Antworten zusammennimmt, hat Janett die perfekte Lösung, glaube ich
Wenn sich das bewährt, können wir das ja patentieren lassen
Vielleicht können wir das ja noch ein bischen kultivieren
Aber schau mal: Hast Du da nicht einen Fehler drin?
H/r = /
a/2 ist doch die halbe Länge des Rechtecks. Ich denke, da müsste die halbe Diagonale hin.
Und hier:
V = a * sqrt*
hast Du noch das b aus der Aufgabe mit dem Zylinder.
Die 16 müsste man durch das Quadrat der Diagonalen ersetzen.
Na Zusammenarbeit funktioniert ja auch nur, wenn man dem anderen auch noch was zu tun übrig lässt
r' = H/r (mit r' Hälfte der Rechteckdiagonalen)
somit h = 6-3r'
Für eine quadratische Grundfläche ist es einfach:
a²+a²=(2r')² --> r'=a/sqrt
V = a²h = a²r = 6a² - 2))a³
V' = 12a - 2))a²=0
a1=0; a2=4sqrt/3=1.886
Vmax=Amax*hmax
Dass A für ein Quadrat maximal wird, kann man ja vorher allgemein zeigen für einen Kreis mit Radius r:
A=a*b
A=a*sqrt
A' = sqrt - a²/sqrt=0
a=sqrtr
b=sqrtr =a
Aber wie ich dich kenne, kommst du demnächst mit DER eleganten Lösung um die Ecke
Rike: Nö, ich finde Du hast das mal wieder supi gemacht. Ich bevorzuge ja die anschaulichen Methoden, und bei dem Zylinder habe ich das glaube ich auch ganz gut hingekriegt. Aber bei dem Kegel kommt man ohne den ollen Formelkram nicht durch. Und das kannst Du besser. Aber immerhin habe ich noch die Fehler in der Rechnung gefunden
@ Janett: Jetzt ist die Sache wohl rund. Vergiss nur Rikes Ergänzung von 16:49h, der Rest ist gut.
Du schriebst, dass Du zwei Nebenbedingungen brauchst.
Die eine ist, dass wir gezeigt haben, dass der Quader eine quadratische Grundfläche haben muss, also a=b.
Die andere ist, dass die oberen Ecken auf dem Kegelmantel liegen und sich ihr Abstand von der Achse in Abhängigkeit von h mit dem Strahlensatz ausdrücken lässt. Diese Abhängigkeit hat Rike nach h aufgelöst und in die Volumengleichung eingesetzt.
Ich brauch Anschaulichkeit nur für den Lösungsansatz, danach fuchtel ich gern nur mit Formeln herum Aber ist ja auch interessant, wenn wir in Mathe mal zufällig dieselbe Frage beantworten, wie unterschiedlich die Herangehensweise ist.
hast du keine angaben, z.b. eine fläche in abhängigkeit von x oder wenigstens eine strecke in abhängigkeit von x gegeben?
dann könnte man es ausrechenen.
Wenn Du in einen Kreiszylinder einen Quader maximalen Volumens einbeschreiben sollst, kannst Du aber schon in einer Nebenbetrachtung klarstellen, dass der Quader die Höhe des Zylinders haben muss um die maximale Größe auszunutzen. Damit reduzierst Du die Aufgabe auf das zweidimensionale Problem, einem Kreis ein Rechteck maximaler Fläche einzubeschreiben.
Natürlich weißt Du, dass dieses maximale Rechteck ein Quadrat ist, aber das musst Du trotzdem als Extremwertaufgabe formulieren und so bestätigen.
Das Rechteck ist ebenso wie der Kreis symmetrisch zum Mittelpunkt bezüglich einer Drehung um 180°. Du kannst also nur die eine Hälfte des Rechtecks betrachten und wählst dazu eine Hälfte, die ein Dreieck mit einer Diagonalen als Grundseite bildet, aus. Die drei Ecken des Dreiecks liegen alle auf dem Umfang des Thaleskreises über der Rechtecksdiagonalen. Das ergibt sich daraus, dass es sich um ein Rechteck handeln soll, der dritte Winkel im Dreieck also ein rechter sein muss. Nun musst Du nur noch die eine Seite des halbierten Rechtecks als Funktion der anderen mit dem Kreisdurchmesser als Parameter aufschreiben und die beiden Seiten multiplizieren als die Fläche des Rechtecks. Diese Fläche leitest Du nach der variablen Rechtecksseite ab und setzt die Ableitung Null, um die Bestimmungsgleichung für die Variable zu erhalten.


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